대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

부분분수 합

문제

∑k=1201(2k+1)(2k+3)=qp\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{20} \frac{1}{( 2 k + 1 ) ( 2 k + 3 )} = \frac{q}{p}일 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp, qq는 서로소인 자연수이다.) [3점]

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149

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열의 합 구하기 ∑k=1201(2k+1)(2k+3)=12∑k=120(12k+1−12k+3)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{20} \frac{1}{( 2 k + 1 ) ( 2 k + 3 )} = \frac{1}{2} \sum\limits _{k = 1} ^{20} \left( \frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{2 k + 3} \right) =12{(13−15)+(15−17)+⋯+(141−143)}\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{41} - \frac{1}{43} \right) \right\} =12(13−143)=12⋅40129=20129=qp\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{43} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{40}{129} = \frac{20}{129} = \frac{q}{p} 따라서 p+q=149p + q = 149

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