부분분수 합

[출제의도] 이차함수의 그래프를 이용하여 여러 가지 수열의 합을 구하는 문제를 해결한다. 부등식 $f ( n ) < k < f ( n ) + 1$ ($n = 1 , 2 , 3 , \cdots$)은 $\displaystyle n ^{2} + n - \frac{1}{3}$$< k$$\displaystyle < n ^{2} + n + \frac{2}{3}$ …… ㉠ 부등식 ㉠을 만족시키는 자연수 $k$는 $n ^{2} + n$이므로 $a _{n}$$= n ^{2} + n$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{100} \frac{1}{a _{n}}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{100} \frac{1}{n ^{2} + n}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{100} \frac{1}{n ( n + 1 )}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{100} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)$ $\displaystyle = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{100} - \frac{1}{101} \right)$ $\displaystyle = 1 - \frac{1}{101}$$\displaystyle = \frac{100}{101}$ 따라서 $p + q$$= 101 + 100$$= 201$