대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부분분수 합

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합 SnS _{n}이 Sn=n2S _{n} = n ^{2}일 때, ∑k=11001akak+1=nm\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{100} \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}} = \frac{n}{m}을 만족시키는 자연수 mm, nn에 대하여 m+nm + n의 값을 구하시오. (단, mm, nn은 서로소이다.) [4점]

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301301

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해설

[출제의도] 수열의 합과 일반항과의 관계를 이용하여 부분분수의 합 구하기 an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1a _{n} = S _{n} - S _{n - 1} = n ^{2} - \left( n - 1 \right) ^{2} = 2 n - 1(n≥2n \geq 2) a1=S1=1a _{1} = S _{1} = 1이므로 an=2n−1a _{n} = 2 n - 1 (n≥1n \geq 1) 1anan−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)\displaystyle \frac{1}{a _{n} a _{n - 1}} = \frac{1}{\left( 2 n - 1 \right) \left( 2 n + 1 \right)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1} \right) ∑k=11001akak+1=12∑k=1100(12k−1−12k+1)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{100} \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}} = \frac{1}{2} \sum\limits _{k=1} ^{100} {\left( \frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1} \right)} =12{(1−13)+(13−15)+⋯+(1199−1201)}\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{199} - \frac{1}{201} \right) \right\} =12(1−1201)=100201\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{201} \right) = \frac{100}{201} ∴m+n=301\therefore m + n = 301

태그

#부분분수#합과 일반항

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