대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부분분수 합

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합 SnS _{n}이 Sn=n(n+3)2\displaystyle S _{n} = \frac{n ( n + 3 )}{2} 일 때, ∑n=1201anan+1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{20} \frac{1}{a _{n} a _{n + 1}}의 값은? [3점] ①111\displaystyle \frac{1}{11}②211\displaystyle \frac{2}{11}③311\displaystyle \frac{3}{11}④411\displaystyle \frac{4}{11}⑤511\displaystyle \frac{5}{11}

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⑤

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열 이해하기 an=Sn−Sn−1(n≥2)a _{n} = S _{n} - S _{n - 1} \left( n \geq 2 \right)이므로 an=n(n+3)2−(n−1)(n+2)2=n+1(n≥2)\displaystyle a _{n} = \frac{n ( n + 3 )}{2} - \frac{( n - 1 ) ( n + 2 )}{2} = n + 1 ( n \geq 2 ) a1=S1=2a _{1} = S _{1} = 2이므로 an=n+1(n≥1)a _{n} = n + 1 ( n \geq 1 ) ∑n=1201anan+1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{20} \frac{1}{a _{n} a _{n + 1}} =∑n=1201(n+1)(n+2)=∑n=120(1n+1−1n+2)\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{20} \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \sum\limits _{n = 1} ^{20} \left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} \right) ={(12−13)+(13−14)+⋯+(121−122)}\displaystyle = \left\{ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{21} - \frac{1}{22} \right) \right\} =12−122=511\displaystyle = \frac{1}{2} - \frac{1}{22} = \frac{5}{11}

태그

#부분분수#수열의 합과 일반항

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