미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

부분분수 급수

문제

lim⁡n→∞{11×3+12×4+⋯+1n×(n+2)}\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{2 \times 4} + \cdots + \frac{1}{n \times \left( n + 2 \right)} \right\}}의 값은? [3점] ①38\displaystyle \frac{3}{8}②12\displaystyle \frac{1}{2}③58\displaystyle \frac{5}{8}④34\displaystyle \frac{3}{4}⑤78\displaystyle \frac{7}{8}

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④

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해설

[출제의도] 급수 계산하기 lim⁡n→∞{11×3+12×4+⋯+1n×(n+2)}\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{2 \times 4} + \cdots + \frac{1}{n \times ( n + 2 )} \right\}} =12lim⁡n→∞{(1−13)+(12−14)+⋯ \displaystyle = \frac{1}{2} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \cdots \right.} +(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)}\displaystyle \left. + \left( \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} \right) + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} \right) \right\} =12lim⁡n→∞(1+12−1n+1−1n+2)\displaystyle = \frac{1}{2} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} \right)}=34\displaystyle = \frac{3}{4}

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