봉사활동 신청 빈칸

매주 월요일부터 수요일까지 총 $4$주에 걸쳐 서로 다른 세 종류의 봉사활동 $\mathrm{A} , B , C$를 반드시 하루에 한 종류씩 다음 규칙에 따라 신청하려고 한다.

◦ 봉사활동 $\mathrm{A} , B , C$를 각각 $3$회, $3$회, $6$회 신청한다. ◦ 첫째 주에는 봉사활동 $\mathrm{A} , B , C$를 모두 신청한다. ◦ 같은 요일에는 두 종류 이상의 봉사활동을 신청한다.

다음은 봉사활동을 신청하는 경우의 수를 구하는 과정이다. 규칙에 따라 봉사활동을 신청하는 경우는 첫째 주에 봉사활동 $\mathrm{A} , B , C$를 모두 신청한 후 ‘(ⅰ) 첫째 주를 제외한 $3$주간의 봉사활동을 신청하는 경우’ 에서 ‘(ⅱ) 첫째 주에 봉사활동 $\mathrm{C}$를 신청한 요일과 같은 요일에 모두 봉사활동 $\mathrm{C}$를 신청하는 경우’를 제외하면 된다.

첫째 주에 봉사활동 $\mathrm{A} , B , C$를 모두 신청하는 경우의 수는 $3 !$이다. (ⅰ)의 경우 : 봉사활동 $\mathrm{A} , B , C$를 각각 $2$회, $2$회, $5$회 신청하는 경우의 수는 ${\square {( \text{가} )}}$이다. (ⅱ)의 경우 : 첫째 주에 봉사활동 $\mathrm{C}$를 신청한 요일과 같은 요일에 모두 봉사활동 $\mathrm{C}$를 신청하는 경우의 수는 ${\square {( \text{나} )}}$이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 구하는 경우의 수는 $3 ! \times \left( {\square {( \text{가} )}} - {\square {( \text{나} )}} \right)$이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 $p , q$라 할 때, $p + q$의 값은? [4점] ①$825$②$832$③$839$④$846$⑤$853$