볼록 함수 적분 보기

[출제의도] 정적분을 뜻을 알고 추론하기 ㄱ. 구간 $( 0 , 1 )$에서 $\displaystyle \frac{d \left\{ f ( x ) \right\} ^{2}}{dx} = 2 f ( x ) f' ( x )$ $\displaystyle \frac{d ^{2} \left\{ f ( x ) \right\} ^{2}}{dx ^{2}} = 2 \left\{ f' ( x ) \right\} ^{2} + 2 f ( x ) f'' ( x )$이므로 $\displaystyle \frac{d ^{2} \left\{ f ( x ) \right\} ^{2}}{dx ^{2}} > 0$ $\therefore$함수 $y = \left\{ f ( x ) \right\} ^{2}$의 그래프는 구간 $( 0 , 1 )$에서 아래로 볼록하다. (참) ㄴ. $1 - x = t$라 하면 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {f ( 1 - x ) dx = \int _{0} ^{1} {f ( t ) dt}}$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {\left\{ f ( x ) + f ( 1 - x ) \right\} dx = 2 \int _{0} ^{1} {f ( x ) dx}}$ 조건에 의해 구간 $( 0 , 1 )$에서 함수 $y = f ( x )$의 그래프의 개형은 다음과 같고

$\displaystyle \int _{0} ^{1} {f ( x ) dx}$의 값은 사다리꼴 $\mathrm{COAB}$의 넓이보다 작다. $\therefore$ $\displaystyle \int _{0} ^{1} {\left\{ f ( x ) + f ( 1 - x ) \right\} dx < 3}$ (참) ㄷ. ㄱ과 ㄴ에 의해 $\displaystyle \frac{\left\{ f \left( \frac{k - 1}{n} \right) \right\} ^{2} + \left\{ f \left( \frac{k}{n} \right) \right\} ^{2}}{2} \cdot \frac{1}{n}$$\displaystyle \geq \int _{\frac{k - 1}{n}} ^{\frac{k}{n}} {\left\{ f ( x ) \right\} ^{2} dx}$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{\left\{ f \left( \frac{k - 1}{n} \right) \right\} ^{2} + \left\{ f \left( \frac{k}{n} \right) \right\} ^{2}}{2} \cdot \frac{1}{n}$$\displaystyle \geq \int _{0} ^{1} {\left\{ f ( x ) \right\} ^{2} dx}$(참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ