볼펜 나누어 주기

[출제의도] 중복조합을 이용하여 조건을 만족시키는 경우의 수를 구할 수 있는가? 2명의 학생을 A, B라 하고 두 학생 A, B가 받는 볼펜의 개수를(A, B)로 나타내면 (5, 0),(4, 1),(3, 2),(2, 3),(1, 4),(0, 5)의 6가지이다. 또한, A, B학생에게 나눠 준 검은색 볼펜, 파란색 볼펜, 빨간색 볼펜의 개수를 각각 $a , b , c$라 하면 $a + b + c = 5$ (단, $0 \leq a \leq 1$, $0 \leq b \leq 4$, $0 \leq c \leq 4$) 이다. (i)(5, 0)인 경우 ① $a = 0$이면 $b + c = 5$에서 순서쌍 $( b , c )$의 개수는(4, 1),(3, 2),(2, 3),(1, 4)의 4이다. ② $a = 1$ 이면 $b + c = 4$ 이므로 순서쌍 $( b , c )$의 개수는 $\mathrm{_{2}} H _{4} = _{2+4-1} C _{4} = _{5} C _{4} = 5$ (ii)(4, 1)인 경우 ① B에게 검은 볼펜을 나눠 준 경우 $b + c = 4$ 이므로 순서쌍 $( b , c )$의 개수는 5이다. ② B에게 파란색 볼펜을 나눠 준 경우 $a + b + c = 4$ (단, $0 \leq a \leq 1$, $0 \leq b \leq 3$, $0 \leq c \leq 4$)이고 ㉠ $a = 0$ 이면 $b + c = 4$ 이므로 순서쌍 $( b , c )$의 개수는(3, 1),(2, 2),(1, 3),(0, 4)의 4이다. ㉡ $a = 1$ 이면 $b + c = 3$ 이므로 순서쌍 $( b , c )$의 개수는 $\mathrm{_{2}} H _{3} = _{2+3-1} C _{3} = 4$ ③ B에게 빨간색 볼펜을 나눠 준 경우도(ii) ②와 같다. (iii)(3, 2)인 경우 ① B에게 검은색, 파란색 볼펜을 각각 1개씩 나눠 준 경우 $b + c = 3$ (단, $0 \leq b \leq 3$, $0 \leq c \leq 4$) 이므로 순서쌍 $( b , c )$의 개수는 4이다. ② B에게 검은색, 빨간색 볼펜을 각각 1개씩 나눠 준 경우도 (iii) ①과 같다. ③ B에게 파란색, 빨간색 볼펜을 각각 1개씩 나눠 준 경우 $a + b + c = 3$ (단, $0 \leq a \leq 1$, $0 \leq b \leq 3$, $0 \leq c \leq 3$) ㉠ $a = 0$ 이면 $b + c = 3$ 이므로 순서쌍 $( b , c )$의 개수는 4이다. ㉡ $a = 1$ 이면 $b + c = 2$ 이므로 순서쌍 $( b , c )$의 개수는 $\mathrm{_{2}} H _{2} = _{2+2-1} C _{2} = 3$ ④ B에게 파란색 볼펜을 2개 나눠 준 경우 $a + b + c = 3$ (단, $0 \leq a \leq 1$, $0 \leq b \leq 2$, $0 \leq c \leq 4$) ㉠ $a = 0$이면 $b + c = 3$ 이므로 순서쌍 $( b , c )$의 개수는 (2, 1), (1, 2), (0,3)의 3이다. ㉡ $a = 1$이면 $b + c = 2$ 이므로 순서쌍 $( b , c )$의 개수는 3이다. ⑤ B에게 빨간색 볼펜을 2개 나눠 준 경우는 (iii) ④의 경우와 같다. 또한,(2, 3),(1, 4),(0, 5)인 경우는 각각(3, 2),(4, 1),(5, 0)인 경우와 같으므로 구하는 경우의 수는 $2 \left\{ ( 4 + 5 ) + ( 5 + 8 \times 2 ) + ( 4 \times 2 + 7 + 3 \times 2 \times 2 ) \right\}$ $= 2 \times ( 9 + 21 + 27 )$$= 2 \times 57$ $= 114$