공통수학1복소수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

복소수의 거듭제곱

문제

복소수 zz가 z+z‾=2,arg(z)=π3\displaystyle z + \overline{z} = 2 , arg ( z ) = \frac{\pi}{3}를 만족시킬 때, z3z ^{3}의 값은? (단, z‾\displaystyle \overline{z}는 zz의 켤레복소수이며, arg(z)arg ( z )는 zz의 편각이다.) [2점] ①8+33i\displaystyle 8 + 3 \sqrt{3} i②−8−33i\displaystyle - 8 - 3 \sqrt{3} i③8i8 i④−2- 2⑤−8- 8

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⑤

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해설

arg(z)=π3\displaystyle arg ( z ) = \frac{\pi}{3}이므로 ∣z∣=r| z | = r라 하면 z=r(cos⁡π3+isin⁡π3)\displaystyle z = r ( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} )이면 z‾=r(cos⁡π3−isin⁡π3)\displaystyle \overline{z} = r ( \cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3} ) 주어진 조건에서 z+z‾=2\displaystyle z + \overline{z} = 2이므로 r(cos⁡π3+isin⁡π3)+r(cos⁡π3−isin⁡π3)=2\displaystyle r ( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} ) + r ( \cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3} ) = 2 2rcos⁡π3=2\displaystyle 2 r \cos \frac{\pi}{3} = 2, 2r×12=2\displaystyle 2 r \times \frac{1}{2} = 2 ∴r=2\therefore r = 2 따라서 z=2(cos⁡π3+isin⁡π3)\displaystyle z = 2 ( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} ) 드 무아브르의 정리에 의하여 z3={2(cos⁡π3+isin⁡π3)}3\displaystyle z ^{3} = \left\{ 2 ( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} ) \right\} ^{3} =23{cos⁡(3×π3)+isin⁡(3×π3)}\displaystyle = 2 ^{3} \left\{ \cos ( 3 \times \frac{\pi}{3} ) + i \sin ( 3 \times \frac{\pi}{3} ) \right\} =8(cos⁡π+isin⁡π)=−8= 8 ( \cos \pi + i \sin \pi ) = - 8

태그

#극형식#드무아브르 정리

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