공통수학1복소수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

복소수 계산기 거듭제곱

문제

그림은 복소수의 연산을 할 수 있는 계산기이다.

이 계산기는 어떤 수를 입력하고 버튼 를 한 번 누르면 입력된 수에 −12+32i\displaystyle - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i 를 곱한 값이 화면에 나타나고, 버튼 를 누를 때마다 화면에 나타난 값에 −12+32i\displaystyle - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i를 곱한 값이 화면에 나타난다. 이 계산기에 22 를 입력하고 버튼 를 20092009 번 눌렀을 때, 계산된 결과로 나타난 복소수 a+bia + b i 에 대하여 abab 의 값은? (단, a,ba , b는 실수, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}) [3점] ①−23\displaystyle - 2 \sqrt{3}②−3\displaystyle - \sqrt{3}③00④3\displaystyle \sqrt{3}⑤23\displaystyle 2 \sqrt{3}

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④

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해설

[출제의도] 복소수의 연산의 성질 이해하기 계산기에 11을 입력한 후, ZZ를 한번 누르면, (−12+32i)1=−12+32i\displaystyle \left( - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) ^{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i ZZ를 두번 누르면, (−12+32i)2=−12−32i\displaystyle \left( - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) ^{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i ZZ를 세번 누르면, (−12+32i)3=1\displaystyle \left( - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) ^{3} = 1이므로, 계산기에 22를 입력하고, ZZ를 20092009번 누르면 2(−12+32i)2009\displaystyle 2 \left( - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) ^{2009} =2{(−12+32i)3}669(−12+32i)2\displaystyle = 2 \left\{ \left( - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) ^{3} \right\} ^{669} \left( - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) ^{2} =2×1×(−12−32i)\displaystyle = 2 \times 1 \times \left( - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \right) =−1−3i\displaystyle = - 1 - \sqrt{3} i ∴ab=3\displaystyle \therefore ab = \sqrt{3}

태그

#복소수 거듭제곱#ω 성질

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