복소수 곱 버튼

[출제의도] 복소수의 곱셈 결과를 추론한다. 버튼을 한 번 누르면 화면에 나타나는 수는 $\displaystyle \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2}$, 두 번 누르면 $\displaystyle \left( \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2} \right) ^{2} = i$ 세 번 누르면 $\displaystyle \left( \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2} \right) ^{3} = \left( \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2} \right) ^{2} \times \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2}$ $\displaystyle = \mathit{i} \times \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2} = \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2}$ 두 번 누르면 $i$이므로 네 번 누르면 $i ^{2} = - 1$ 그러므로 버튼을 여덟 번 누르면 화면에 $1$이 나타난다. 버튼을 한 번 누르면 화면에 나타나는 수는 $\displaystyle \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2}$, 두 번 누르면 $\displaystyle \left( \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2} \right) ^{2} = - i$ 세 번 누르면 $\displaystyle \left( \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2} \right) ^{3} = \left( \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2} \right) ^{2} \times \left( \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2} \right)$ $\displaystyle = \mathit{-} i \times \left( \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2} \right) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2}$ 두 번 누르면 $- i$이므로 네 번 누르면 $( - i ) ^{2} = - 1$ 그러므로 버튼을 여덟 번 누르면 화면에 $1$이 나타난다. 그런데 버튼과 버튼을 한 번씩 누른 결과는 $\displaystyle \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2} \times \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2} = - 1$ 그러므로 버튼과 버튼을 두 번씩 누르면 화면에 $1$이 나타난다. 따라서 화면에 $1$이 다시 나타날 때까지 버튼을 누른 횟수의 최솟값은 $4$ [참고] $\displaystyle \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} ( 1 + i )$에서 $\displaystyle \left\{ \frac{\sqrt{2}}{2} ( 1 + i ) \right\} ^{2} = i$이고 $\displaystyle \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} ( - 1 + i )$에서 $\displaystyle \left\{ \frac{\sqrt{2}}{2} ( - 1 + i ) \right\} ^{2} = - i$ 이므로 $i \times ( - i ) = 1$임을 이용하여 같은 결과를 얻을 수 있다.