공통수학1복소수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

복소수 거듭제곱 양의 실수

문제

자연수 nn에 대하여 i(1+i)ni ( 1 + i ) ^{n}이 양의 실수가 되는 nn의 최솟값을 구하시오. (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}) [4점]

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해설

[출제의도] 복소수의 기본성질을 이해하기 i(1+i)ni {( 1 + i )} ^{n}이 양의 실수가 되기 위해서는 i2=−1i ^{2} = - 1이므로 (1+i)n=−ai(a>0){( 1 + i )} ^{n} = - ai ( a > 0 )이어야 하 한다. n=2n = 2일 때, (1+i)2=2i{( 1 + i )} ^{2} = 2 i n=4n = 4일 때, (1+i)4={(1+i)2}2=(2i)2=−4{( 1 + i )} ^{4} = \left\{ ( 1 + i ) ^{2} \right\} ^{2} = ( 2 i ) ^{2} = - 4 n=6n = 6일 때, (1+i)6=(1+i)2(1+i)4=−8i{( 1 + i )} ^{6} = {( 1 + i )} ^{2} {( 1 + i )} ^{4} = - 8 i 그러므로, ∴i(1+i)6=i(−8i)=8i {( 1 + i )} ^{6} = i ( - 8 i ) = 8이다. 따라서, nn의 최솟값은 66이다.

태그

#복소수의 거듭제곱

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