복소수 거듭제곱

[출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 추론하기 $\displaystyle z _{1} = \frac{\sqrt{2}}{1 + i}$라 하면 $\displaystyle z _{1} ^{2} = \left( \frac{\sqrt{2}}{1 + i} \right) ^{2} = \frac{2}{2 i} = \mathit{-} i$, $z _{1} ^{4} = \left( z _{1} ^{2} \right) ^{2} = \left( - i \right) ^{2} = \mathit{-} 1$, $z _{1} ^{8} = \left( z _{1} ^{4} \right) ^{2} = \left( - 1 \right) ^{2} = 1$이다. $\displaystyle z _{2} = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$라 하면 $\displaystyle z _{2} ^{2} = \left( \frac{\sqrt{3} + i}{2} \right) ^{2} = \frac{2 + 2 \sqrt{3} i}{4} = \frac{1 + \sqrt{3} i}{2}$ $\displaystyle z _{2} ^{3} = z _{2} ^{2} \times z _{2} = \frac{1 + \sqrt{3} i}{2} \times \frac{\sqrt{3} + i}{2} = \frac{4 i}{4} = i$ $z _{2} ^{6} = \left( z _{2} ^{3} \right) ^{2} = i ^{2} = \mathit{-} 1$ $z _{2} ^{12} = \left( z _{2} ^{6} \right) ^{2} = \left( - 1 \right) ^{2} = 1$이다. $\displaystyle \left( \frac{\sqrt{2}}{1 + i} \right) ^{n} + \left( \frac{\sqrt{3} + i}{2} \right) ^{n} = 2$을 만족시키려면 $\displaystyle \left( \frac{\sqrt{2}}{1 + i} \right) ^{n} = 1$과 $\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3} + i}{2} \right) ^{n} = 1$을 동시에 만족시키는 자연수 $n$을 찾아야 한다. 따라서 자연수 $n$의 최솟값은 $8$, $12$의 최소공배수인 $24$이다.