복이차방정식 보기 판단

[출제의도] 인수분해를 이용하여 사차방정식의 근을 추론한다. ㄱ. $x ^{4} + \left( 3 - 2 a \right) x ^{2} + a ^{2} - 3 a - 10 = 0$에서 $a = 1$이면 $x ^{4} + x ^{2} - 12 = 0$ $\left( x ^{2} - 3 \right) \left( x ^{2} + 4 \right) = 0$ $\displaystyle \left( x + \sqrt{3} \right) \left( x - \sqrt{3} \right) \left( x + 2 i \right) \left( x - 2 i \right) = 0$ $\displaystyle x = \mathit{-} \sqrt{3}$ 또는 $\displaystyle x = \sqrt{3}$ 또는 $x = \mathit{-} 2 i$ 또는 $x = 2 i$ 이때 실근은 $\displaystyle x = \mathit{-} \sqrt{3}$ 또는 $\displaystyle x = \sqrt{3}$이므로 모든 실근의 곱은 $\displaystyle \left( - \sqrt{3} \right) \times \sqrt{3} = \mathit{-} 3$이다. (참) ㄴ. $x ^{4} + \left( 3 - 2 a \right) x ^{2} + a ^{2} - 3 a - 10 = 0$에서 $x ^{4} + \left( 3 - 2 a \right) x ^{2} + \left( a - 5 \right) \left( a + 2 \right) = 0$ $\left( x ^{2} - a + 5 \right) \left( x ^{2} - a - 2 \right) = 0$ $x ^{2} = a - 5$ 또는 $x ^{2} = a + 2$ $x ^{2} = a - 5$에서 $a - 5 \geq 0$이면 실근을 갖고 $a - 5 < 0$이면 허근을 갖는다. $x ^{2} = a + 2$에서 $a + 2 \geq 0$이면 실근을 갖고 $a + 2 < 0$이면 허근을 갖는다. 방정식 $x ^{4} + \left( 3 - 2 a \right) x ^{2} + a ^{2} - 3 a - 10 = 0$이 실근과 허근을 모두 가지므로 $a + 2 \geq 0$, $a - 5 < 0$ 에서 $- 2 {\leq} a < 5$ $- 2 < a < 5$일 때 방정식의 실근은 $\displaystyle x = \mathit{-} \sqrt{a + 2}$ 또는 $\displaystyle x = \sqrt{a + 2}$ 이고, $a = \mathit{-} 2$일 때 $x = 0$ 또, $- 2 \leq a < 5$일 때 방정식의 허근은 $\displaystyle x = \mathit{-} \sqrt{5 - a} i$ 또는 $\displaystyle x = \sqrt{5 - a} i$ 이다. 이때 모든 실근의 곱이 $- 4$이려면 방정식의 실근은 $\displaystyle x = \mathit{-} \sqrt{a + 2}$ 또는 $\displaystyle x = \sqrt{a + 2}$ $\displaystyle \left( - \sqrt{a + 2} \right) \times \sqrt{a + 2} = \mathit{-} 4$ $a + 2 = 4$, $a = 2$ 이므로 방정식의 허근은 $\displaystyle x = \mathit{-} \sqrt{3} i$ 또는 $\displaystyle x = \sqrt{3} i$ 이다. 따라서 모든 허근의 곱은 $\displaystyle \left( - \sqrt{3} i \right) \times \sqrt{3} i = 3$ 이다. (참) ㄷ. ㄴ에서 $- 2 \leq a < 5$이고 $\displaystyle 0 \leq \sqrt{a + 2} < \sqrt{7}$이므로 방정식이 가질 수 있는 정수인 근은 $\displaystyle \sqrt{a + 2}$의 값이 $0$, $1$, $2$일 때이다. 즉, $\displaystyle \sqrt{a + 2} = 0$일 때 $a = \mathit{-} 2$ $\displaystyle \sqrt{a + 2} = 1$일 때 $a = \mathit{-} 1$ $\displaystyle \sqrt{a + 2} = 2$일 때 $a = 2$ 따라서 정수인 근을 갖도록 하는 실수 $a$의 값이 $- 2$, $- 1$, $2$이므로 그 합은 $\left( - 2 \right) + \left( - 1 \right) + 2 = \mathit{-} 1$이다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.