공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

비틀림 진자 주기

문제

비틀림 진자는 탄성을 가진 연결 줄과 끝에 매달린 원판으로 구성된다. 탄성을 갖는 연결 줄의 비틀림 상수를 xx(x>0)\left( x > 0 \right), 원판의 관성 모멘트를 yy(y>0)\left( y > 0 \right), 원판이 줄에 매달려 있는 비틀림 진자의 주기를 TT라 할 때, 다음 관계식이 성립한다. T=2πyx\displaystyle T = 2 \pi \sqrt{\frac{y}{x}} 탄성을 가진 연결 줄 AA에 원판 A′A'이 매달려 있는 비틀림 진자의 주기를 TAT _{A}, 탄성을 가진 연결 줄 BB에 원판 B′B'이 매달려 있는 비틀림 진자의 주기를 TBT _{B}라 하자. 연결 줄 AA의 비틀림 상수는 연결 줄 BB의 비틀림 상수의 44배, 원판 A′A'의 관성 모멘트는 원판 B′B'의 관성 모멘트의 4+12\displaystyle 4 + \sqrt{12}배이다. TATB\displaystyle \frac{T _{A}}{T _{B}}의 값은? (단, 관성 모멘트는 회전하는 물체가 상태를 유지하려는 에너지의 크기이다.) [3점] ①1+22\displaystyle \frac{1 + \sqrt{2}}{2}②1+32\displaystyle \frac{1 + \sqrt{3}}{2}③1+222\displaystyle \frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}④1+232\displaystyle \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{2}⑤1+322\displaystyle \frac{1 + 3 \sqrt{2}}{2}

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②

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해설

[출제의도] 무리식을 활용하여 문제해결하기 연결 줄 AA의 비틀림 상수는 연결 줄 BB의 비틀림 상수의 44배이므로 연결 줄 BB의 비틀림 상수를 aa라 하면, 연결 줄 AA의 비틀림 상수는 4a4 a이다. 원판 A′A'의 관성 모멘트가 원판 B′B'의 관성 모멘트의 4+12\displaystyle 4 + \sqrt{12}배이므로 원판 B′B'의 관성 모멘트를 bb라 하면, 원판 A′A'의 관성 모멘트는 (4+12)b\displaystyle \left( 4 + \sqrt{12} \right) b이다. TA=2π(4+23)b4a=2π(1+3)b2a\displaystyle T _{A} = 2 \pi \sqrt{\frac{\left( 4 + 2 \sqrt{3} \right) b}{4 a}} = 2 \pi \frac{\left( 1 + \sqrt{3} \right) \sqrt{b}}{2 \sqrt{a}} TB=2πba=2πba\displaystyle T _{B} = 2 \pi \sqrt{\frac{b}{a}} = 2 \pi \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} 따라서 TATB\displaystyle \frac{T _{A}}{T _{B}}=1+32\displaystyle = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}

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#이중근호#실생활

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