대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

비례식과 지수 계산

문제

$0$ 이 아닌 세 실수 $a , b , c$ 가 $\displaystyle \frac{a + b}{4} = \frac{b + c}{7} = \frac{c + a}{9}$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle ( 2 ^{a} \times 2 ^{b} ) ^{\frac{1}{c}}$ 의 값은? [3점] ① $\displaystyle \sqrt[4]{2}$ ② $\displaystyle \sqrt[3]{2}$ ③ $\displaystyle \sqrt[3]{4}$ ④ $\displaystyle 2 \sqrt{2}$ ⑤ $4$

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③

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[출제의도] 지수의 유리수까지의 확장을 이해하기 $\displaystyle \frac{a + b}{4} = \frac{b + c}{7} = \frac{c + a}{9} = k ( \ne 0 )$ 라 하면 $a + b = 4 k , b + c = 7 k , c + a = 9 k$ 이다. $\therefore a = 3 k , b = k , c = 6 k$ 따라서 (준식) $\displaystyle = 2 ^{\frac{a + b}{c}} = 2 ^{\frac{4 k}{6 k}} = 2 ^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4}$ 이다.

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