대수수열의 합수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

빈칸 수 배열 규칙

문제

그림은 색칠되어 있지 않은 빈칸에 자연수를 11부터 차례로 적어 넣는 과정을 나타낸 것이다. 예를 들어 제33행, 제55열의 빈칸에 적힌 수는 1212이다. 제mm행, 제nn열의 빈칸에 적힌 수가 174174일 때, m+nm + n의 값을 구하시오. [4점]

제11열제22열제33열제44열제55열제66열제77열
제11행551414
제22행33441313
제33행11221212
제44행10101111⋯
제55행66778899
제66행
제77행15151616⋯
⋮⋱
정답 보기
35

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 규칙성을 찾아 여러 가지 수열의 일반항을 구한다. 표에 나열된 수를 다음과 같이 묶어보자. (11, 22, 33, 44, 55) (66, 77, 88, ⋯\cdots, 1414) (1515, 1616, 1717, ⋯\cdots, 2727) ⋮\vdots nn번째 묶음의 첫째항을 ana _{n}이라 하면 {an}\left\{ a _{n} \right\} : 11, 66, 1515, 2828, ⋯\cdots bn=an+1−anb _{n} = a _{n+1} - a _{n}이라 하면 {bn}\left\{ b _{n} \right\} : 55, 99, 1313, ⋯\cdots 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 첫째항이 55이고 공차가 44인 등차수열이므로 bn=5+4(n−1)=4n+1b _{n} = 5 + 4 ( n - 1 ) = 4 n + 1 ∴ an=1+∑k=1n−1(4k+1)=2n2−n\displaystyle a _{n} = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} ( 4 k + 1 ) = 2 n ^{2} - n a9=153<174<190=a10a _{9} = 153 < 174 < 190 = a _{10}이므로 174174는 99번째 묶음의 2222번째 수이다. nn번째 묶음에 포함된 수의 개수를 나열하면 55, 99, 1313, … 즉, 첫째항이 55이고 공차가 44인 등차수열을 이룬다. 따라서 99번째 묶음에 포함된 수의 개수는 5+(9−1)×4=375 + ( 9 - 1 ) \times 4 = 37 이때, 99번째 묶음은 제1919행의 제11열부터 제1818열까지 앞에서부터 1818개의 수가 배열되고 제1818행, 제181 8열에 하나의 수가 배열되고 제1818행, 제1919열부터 위쪽으로 1818개의 수가 배열된다. 따라서 174174는 제1616행, 제1919열의 수이다. ∴ 16+19=3516 + 19 = 35

⋯\cdots제1414열제1515열제1616열제1717열제1818열제1919열
⋮\vdots⋮\vdots
제1616행174174
제1717행173173
제1818행171171172172
제1919행⋯\cdots166166167167168168169169170170

[다른 풀이] 제2n2 n행, 제2n2 n열에 있는 수를 ana _{n}이라 하자. 제22행, 제22열에 있는 수는 33이고, 제44행, 제44열로 이동하기 위해서는 제33열의 22칸, 제55행의 55칸을 지나온 것과 같으므로 제44행, 제44열의 수는 3+(2+5)=103 + ( 2 + 5 ) = 10 같은 방법으로 제44행, 제44열의 수가 제66행, 제66열의 수로 이동하기 위해서는 제55열의 44칸, 제77행의 77칸을 지나온 것과 같으므로 제66행, 제66열의 수는 10+(4+7)=2110 + ( 4 + 7 ) = 21 같은 방법으로 제66행, 제66열의 수가 제88행, 제88열의 수로 이동하기 위해서는 제66열의 66칸, 제99행의 99칸을 지나온 것과 같으므로 제88행, 제88열의 수는 21+(6+9)=3621 + ( 6 + 9 ) = 36 그러므로 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 계차수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 첫째항이 77이고 공차가 44인 등차수열이다. bn=7+4(n−1)b _{n} = 7 + 4 ( n - 1 )=4n+3= 4 n + 3 a1=3a _{1} = 3이므로 an=3+∑k=1n−1(4k+3)\displaystyle a _{n} = 3 + \sum\limits _{k=1} ^{n-1} ( 4 k + 3 )=2n2+n= 2 n ^{2} + n a9=171a _{9} = 171이고 33칸을 더 이동해야 174174가 되므로 오른쪽으로 11칸 이동한 후 위로 22칸 이동한 빈칸에 174174가 배열된다. 따라서 174174는 제1616행, 제1919열의 수이다.

태그

#수열의 규칙#계차수열

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 수열의 합 문제 모음수능 문제 모음고난도 킬러 문제 모음
← 전체 문제 목록으로