중학중학 미분류수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

빈칸 추론 삼각형 넓이

문제

그림과 같이 ∠ABC=60∘\mathrm{\angle} ABC = 60 ^\circ인 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 두 변 AB\mathrm{AB}, AC\mathrm{AC}의 중점을 각각 D\mathrm{D}, E\mathrm{E}라 하자. 선분 DE\mathrm{DE}를 지름으로 하는 원이 선분 BC\mathrm{BC}와 접할 때, 이 원이 선분 AB\mathrm{AB}와 만나는 점 중 D\mathrm{D}가 아닌 점을 F\mathrm{F}라 하자.

다음은 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 넓이가 1616일 때, 삼각형 AFE\mathrm{AFE}의 넓이를 구하는 과정이다.

원의 반지름의 길이를 rr라 하면 DE‾=2r\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} = 2 \mathit{r}, BC‾=4r\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 4 \mathit{r} 이다. 점 A\mathrm{A}에서 선분 BC\mathrm{BC}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 AH‾=□(가)×r\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \square {{}^{_{(\text{가})}}} \times \mathit{r} 이고, △ABC=16\mathrm{\triangle} ABC = 16이므로 r=□(나)r = {\square {{}^{_{(\text{나})}}}} 이다. 삼각형 ADE\mathrm{ADE}와 삼각형 ABC\mathrm{ABC}는 서로 닮음이므로 △ADE=4\mathrm{\triangle} ADE = 4이다. 삼각형 FDE\mathrm{FDE}에서 꼭짓점 F\mathrm{F}는 원 위의 점이므로 삼각형 FDE\mathrm{FDE}의 넓이는 □(다){\square {{}^{_{(\text{다})}}}}이다. 따라서 구하는 삼각형 AFE\mathrm{AFE}의 넓이는 4−□(다)4 - {\square {{}^{_{(\text{다})}}}}이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 aa, bb, cc라 할 때, a×b×ca \times b \times c의 값은? [4점] ①53\displaystyle 5 \sqrt{3}②63\displaystyle 6 \sqrt{3}③73\displaystyle 7 \sqrt{3}④83\displaystyle 8 \sqrt{3}⑤93\displaystyle 9 \sqrt{3}

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④

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해설

[출제의도] 삼각형과 원의 성질을 이용하여 주어진 삼각형의 넓이를 구하는 과정을 추론한다.

원의 반지름의 길이를 r{r}라 하면 DE‾=2r\displaystyle {\mathrm{\overline{DE}} = 2 \mathit{r}}이다. 삼각형 ADE{\mathrm{ADE}}와 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}에서 AD‾:AB‾=AE‾:AC‾=1:2\displaystyle {\mathrm{\overline{AD}} : \overline{AB} = \mathrm{\overline{AE}} : \overline{AC} = 1 : 2}이고 각 A{\mathrm{A}}는 공통이므로 삼각형 ADE{\mathrm{ADE}}와 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}는 서로 닮음이고 닮음비는 1:2{1 : 2}이다. 따라서 BC‾\displaystyle {\mathrm{\overline{BC}}}=2×DE‾\displaystyle {= 2 \times \mathrm{\overline{DE}}}=4r{= 4 r} 점 D{\mathrm{D}}에서 선분 BC{\mathrm{BC}}에 내린 수선의 발을 I{\mathrm{I}}라 하면 선분 DE{\mathrm{DE}}가 지름인 원이 선분 BC{\mathrm{BC}}에 접하므로 DI‾=r\displaystyle {\mathrm{\overline{DI}} = \mathit{r}} 점 A{\mathrm{A}}에서 선분 BC{\mathrm{BC}}에 내린 수선의 발을 H{\mathrm{H}}라 하면 삼각형 BID{\mathrm{BID}}와 삼각형 BHA{\mathrm{BHA}}에서 각 B{\mathrm{B}}는 공통이고 ∠BID=∠BHA=90∘{\mathrm{\angle} BID = \angle BHA = 90 ^\circ}이므로 삼각형 BID{\mathrm{BID}}와 삼각형 BHA{\mathrm{BHA}}는 서로 닮음이고 닮음비는 1:2{1 : 2}이다. 그러므로 AH‾\displaystyle {\mathrm{\overline{AH}}}=2×DI‾\displaystyle {= 2 \times \mathrm{\overline{DI}}}=□2×r{= {\square {{}_{} ^{} 2} ^{_{}} {}^{}}} \times \mathit{r}이고 △ABC{\mathrm{\triangle} ABC}=12×BC‾×AH‾\displaystyle {= \frac{1}{2} \times {\mathrm{\overline{BC}}} \times {\mathrm{\overline{AH}}}}=12×4r×2r\displaystyle {= \frac{1}{2} {\times} 4 r {\times} 2 r}=4r2{= 4 r ^{2}}=16{= 16} 이므로 r2=4{r ^{2} = 4}이고 r>0{r > 0}이므로 r=□2{r = {\square {{}_{} ^{} 2} ^{_{}} {}^{}}}이다. 삼각형 ADE{\mathrm{ADE}}와 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}는 닮음비가 1:2{1 : 2}이므로 두 삼각형의 넓이의 비는 1:4{1 : 4}이다. △ADE{\mathrm{\triangle} ADE}=14×△ABC\displaystyle {= \frac{1}{4} \times \mathrm{\triangle} ABC}=4{= 4}이다. 삼각형 FDE{\mathrm{FDE}}에서 꼭짓점 F{\mathrm{F}}는 원 위의 점이고 각 DFE{\mathrm{DFE}}는 호 DE{\mathrm{DE}}에 대한 원주각이므로 ∠DFE=90∘{\mathrm{\angle} DFE = 90 ^\circ}이다. 삼각형 ADE{\mathrm{ADE}}와 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}가 서로 닮음이므로 ∠FDE=∠ABC=60∘{\mathrm{\angle} FDE = \mathrm{\angle} ABC = 60 ^\circ} DE‾=2r=4\displaystyle {\mathrm{\overline{DE}} = 2 \mathit{r} = 4}이므로 DF‾=2\displaystyle {\mathrm{\overline{DF}} = 2}, EF‾=23\displaystyle {\mathrm{\overline{EF}} = 2 \sqrt{3}} 그러므로 삼각형 FDE{\mathrm{FDE}}의 넓이는 12×DF‾×EF‾\displaystyle {\frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{DF}} \times \mathrm{\overline{EF}}}=12×2×23\displaystyle {= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \sqrt{3}}=□23\displaystyle {= {\square {{}_{} ^{} 2 \sqrt{3}} ^{_{}} {}^{}}} 이다. 따라서 구하는 삼각형 AFE{\mathrm{AFE}}의 넓이는 4−□23\displaystyle {4 - {\square {{}_{} ^{} 2 \sqrt{3}} ^{_{}} {}^{}}} 이다. 그러므로 a=2{a = 2}, b=2{b = 2}, c=23\displaystyle {c = 2 \sqrt{3}}에서 a×b×c=83\displaystyle {a \times b \times c = 8 \sqrt{3}}

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#빈칸 추론#삼각비#닮음

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