비자명해 a의 곱

[출제의도] 연립일차방정식과 행렬 이해하기 $\displaystyle {\begin{pmatrix} a - 5 & 4 \\ 2 & a - 7 \end{pmatrix}} \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right)$이 $x = 0$, $y = 0$ 이외의 해를 가지려면 행렬 $\displaystyle {\begin{pmatrix} a - 5 & 4 \\ 2 & a - 7 \end{pmatrix}}$의 역행렬이 존재하지 않아야 하므로 $\left( a - 5 \right) \left( a - 7 \right) - 8 = 0$ $\left( a - 3 \right) \left( a - 9 \right) = 0$ $\therefore$ $a = 3$ 또는 $a = 9$ 따라서 모든 실수 $a$의 값의 곱은 $27$