확률과 통계순열과 조합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

비둘기집 원리 증명

문제

$X$ 는 집합 $T = \left\{ 1 , 2 , \cdots , 100 \right\}$ 의 부분집합이고, $n ( X ) = 10$ 이다. 다음은 $X$ 의 부분집합 중에서 원소의 합이 같고, 서로소인 두 부분집합이 존재함을 비둘기집의 원리를 이용하여 증명한 것이다.


	$n ( X ) = 10$ 인 집합 $X$ 의 모든 부분집합의 개수는 (가) (가) (나) $A = X _{i} - ( X _{i} \cap X _{j} )$ , $B =$ (다) 로 두면, 집합 $A , B$ 는 원소의 합이 같고 서로소인 $X$ 의 두 부분집합이다.

로 두면, 집합 $A , B$ 는 원소의 합이 같고 서로소인 $X$ 의 두 부분집합이다.

위의 증명 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	$100$	$855$	$X _{j} - ( X _{i} \cap X _{j} )$
②	$100$	$955$	$( X _{i} \cup X _{j} ) - X _{j}$
③	$1024$	$855$	$X _{j} - ( X _{i} \cap X _{j} )$
④	$1024$	$955$	$( X _{i} \cup X _{j} ) - X _{j}$
⑤	$1024$	$955$	$X _{j} - ( X _{i} \cap X _{j} )$

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⑤

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해설

$n ( X ) = 10$ 이므로 $X$ 의 부분집합의 개수는 $\square {2 ^{10} = 1024}$ $X$ 의 부분집합 중 원소의 합이 최소인 경우는 $\phi$ , 최대인 경우는 $\left\{ 91 , 92 , 93 , \cdots , 100 \right\}$ 이므로

$0 \leq s _{i} \leq$ 이다.

$X _{j} - ( X _{i} \cap X _{j} )$ $X _{i} - ( X _{i} \cap X _{j} ) ,$ 이면 주어진 식은 성립한다.

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