블록 겉넓이

[출제의도] 약수, 배수의 성질을 이용하여 입체도형의 겉넓이 구하는 문제를 해결한다. 정육면체의 한 변의 길이를 $n$이라고 하면 한 면의 넓이는 $n ^{2}$이고 정육면체는 $6$개의 면이 있으므로 정육면체의 겉넓이는 $6 n ^{2}$이다. 문제에서 정육면체의 겉넓이가 $720 abc$이므로 $6 n ^{2} = 720 abc$ 즉, $n ^{2} = 120 abc$이므로 $\displaystyle n = \sqrt{120 abc}$$\displaystyle = 2 \sqrt{30 abc}$ 그런데 $n$은 자연수이고 정육면체의 겉넓이가 최소이므로 $abc = 30 k ^{2}$(단, $k$는 자연수)에서 $k = 1$ 따라서 $abc = 30$이고, 블록 한 개의 겉넓이는 $2 ( ab + bc + ca )$이다. $a$,$b$,$c$가 될 수 있는 각각의 경우에 대해 겉넓이를 계산하면 다음과 같다. i)$a = 1$, $b = 1$, $c = 30$일 때 블록 한 개의 겉넓이는 $2 ( ab + bc + ca ) = 122$ 이때, $a$, $b$, $c$에 대응되는 $1$, $1$, $30$의 순서가 바뀌더라도 겉넓이는 $122$로 일정하다. ii) $a = 1$, $b = 2$, $c = 15$일 때 블록 한 개의 겉넓이는 $2 ( ab + bc + ca ) = 94$ 이때, $a$, $b$, $c$에 대응되는 $1$, $2$, $15$의 순서가 바뀌더라도 겉넓이는 $94$로 일정하다. iii) $a = 1$, $b = 3$, $c = 10$일 때 블록 한 개의 겉넓이는 $2 ( ab + bc + ca ) = 86$ 이때, $a$, $b$, $c$에 대응되는 $1$, $3$, $10$의 순서가 바뀌더라도 겉넓이는 $86$으로 일정하다. iv) $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$일 때 블록 한 개의 겉넓이는 $2 ( ab + bc + ca ) = 82$ 이때, $a$, $b$, $c$에 대응되는 $1$, $5$, $6$의 순서가 바뀌더라도 겉넓이는 $82$로 일정하다. ⅴ) $a = 2$, $b = 3$, $c = 5$일 때 블록 한 개의 겉넓이는 $2 ( ab + bc + ca ) = 62$ 이때, $a$, $b$, $c$에 대응되는 $2$, $3$, $5$의 순서가 바뀌더라도 겉넓이는 $62$로 일정하다. 위의 ⅰ) ~ ⅴ)의 경우로부터 블록 한 개의 겉넓이의 최댓값 $M = 122$, 최솟값 $m = 62$ 따라서 $M + m = 184$