대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

블록 채우기 점화식

문제

한 변의 길이가 $70 \mathrm{cm}$ 인 정육면체 모양의 상자에 한 변의 길이가 $10 \mathrm{cm}$ 인 정육면체 모양의 나무 블록을 다음 규칙에 따라 빈틈없이 가득 채우려고 한다.

$n$ 번째에 넣는 나무 블록의 개수를 $a _{n}$ 이라 할 때, (가) $a _{1} = 10$ (나) $\displaystyle a _{n+1} = \left[ \frac{a _{n}}{2} \right] + 3$ , $n = 1 , 2 , 3 , \cdots$ (단, $[ x ]$ 는 $x$ 를 넘지 않는 최대의 정수이다.) (다) 상자를 가득 채우면 나무 블록 넣기를 멈춘다.

$k$ 번째에 상자를 가득 채웠다고 할 때, $k$ 의 값을 구하시오. (단, 상자의 두께는 무시한다.) [4점]

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해설

$a _{1} = 10$ 이므로 $\displaystyle a _{2} = \left[ \frac{10}{2} \right] + 3 = 5 + 3 = 8$ $\displaystyle a _{3} = \left[ \frac{8}{2} \right] + 3 = 4 + 3 = 7$ $\displaystyle a _{4} = \left[ \frac{7}{2} \right] + 3 = 3 + 3 = 6$ $\displaystyle a _{5} = \left[ \frac{6}{2} \right] + 3 = 3 + 3 = 6$ … 이므로 $n \geq 4$ 일 때, $a _{n} = 6$ 이다. 작은 정육면체는 모두 $7 ^{3} = 343$ 개가 필요하므로 $10 + 8 + 7 + 6 \times 53 = 343$ 에서 $56$ 번째에 상자를 가득 채울 수 있다.

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