기하공간벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

법선벡터와 현의 길이

문제

좌표공간에 점 P(0,0,4)\mathrm{P} ( 0 , 0 , 4 )가 있고 xyxy평면 위의 원 x2+y2=4x ^{2} + y ^{2} = 4위의 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}가 있다. 평면 ABP\mathrm{ABP}의 법선벡터가 n⃗=(2,−2,1)\vec{n} = ( 2 , - 2 , 1 )일 때, 선분 AB\mathrm{AB}의 길이는? [4점] ①6\displaystyle \sqrt{6}②22\displaystyle 2 \sqrt{2}③10\displaystyle \sqrt{10}④23\displaystyle 2 \sqrt{3}⑤14\displaystyle \sqrt{14}

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②

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해설

평면 ABP\mathrm{ABP}의 방정식을 구하면 P(0,0,4)\mathrm{P} ( 0 , 0 , 4 )를 지나고 법선벡터가 n⃗=(2,−2,1)\vec{n} = ( 2 , - 2 , 1 )이므로 2x−2y+z−4=02 x - 2 y + z - 4 = 0이다. 한편 두 점 A,B\mathrm{A} , B는 xyxy평면 위의 원 x2+y2=4⋯①x ^{2} + y ^{2} = 4 \cdots \text{①} 위의 점이고 평면 ABP\mathrm{ABP}의 방정식에 z=0z = 0을 대입하여 얻어진 $2 x - 2 y - 4 = 0 \cdots \text{ ②}$ 위의 점이므로 ①과 ②를 연립하면 x=2,y=0x = 2 , y = 0 또는 x=0,y=−2x = 0 , y = - 2이다. 이 때, A(2,0,0),B(0,−2,0)\mathrm{A} ( 2 , 0 , 0 ) , B ( 0 , - 2 , 0 )라 하면 AB‾=22\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2 \sqrt{2}이다.

태그

#평면의 방정식#법선벡터

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