기하평면벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

벡터와 삼각형 넓이

문제

좌표평면에서 삼각형 $ABC$ 의 세 꼭짓점 $A , B , C$ 와 두 점 $P$ , $Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) ${\vec{AQ}} = 3 {\vec{AC}} - 2 {\vec{AB}}$ (나) $3 {\vec{QP}} = 2 {\vec{QA}} + {\vec{QB}}$

삼각형 $ABC$ 의 넓이가 7일 때, 삼각형 $PBQ$ 의 넓이를 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 평면벡터를 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 점 $P$ 는 선분 $AB$ 를 $1 : 2$ 로 내분하는 점이다. 점 $Q$ 는 선분 $BC$ 를 $3 : 2$ 로 외분하는 점이다. 따라서 삼각형 $ABC$ 와 두 점 $P , Q$ 의 위치는 그림과 같다.

삼각형 $ABC$ 의 넓이는 7이므로 삼각형 $PBC$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{14}{3}$ 삼각형 $PBQ$ 의 넓이는 $3 \times$ ( $PBC$ 의 넓이)=14

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