기하평면벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

벡터의 일차결합

문제

한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C}에 대하여 2AB⃗+pBC⃗=qCA⃗2 \mathrm{\vec{AB}} + \mathit{p} \mathrm{\vec{BC}} = \mathit{q} \mathrm{\vec{CA}} 일 때, p−qp - q의 값은? (단, pp와 qq는 실수이다.) [3점] ①11②22③33④44⑤55

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④

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해설

[출제의도] 벡터의 연산을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 상수의 값을 구할 수 있는가 2AB⃗+pBC⃗=qCA⃗2 \mathrm{\vec{AB}} + {\mathit{p}} {\vec{BC}} = {\mathit{q}} {\vec{CA}}에서 BC⃗=AC⃗−AB⃗\mathrm{\vec{BC}} = {\vec{AC}} - {\vec{AB}}, CA⃗=−AC⃗\mathrm{\vec{CA}} = \mathit{-} \mathrm{\vec{AC}}이므로 2AB⃗+p(AC⃗−AB⃗)=−qAC⃗2 \mathrm{\vec{AB}} + {\mathit{p}} \left( \mathrm{\vec{AC}} - {\vec{AB}} \right) = \mathit{-} {q} \mathrm{\vec{AC}} (2−p)AB⃗=−(p+q)AC⃗\left( 2 - p \right) \mathrm{\vec{AB}} = \mathit{-} \left( p + q \right) \mathrm{\vec{AC}} A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C}가 서로 다른 세 점이므로 AB⃗≠0⃗\mathrm{\vec{AB}} \ne {\vec{0}}, AC⃗≠0⃗\mathrm{\vec{AC}} \ne {\vec{0}} 이때 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C}가 한 직선 위에 있지 않으므로 2−p=−(p+q)=02 - p = \mathit{-} \left( p + q \right) = 0 이어야 한다. 따라서 p=2p = 2, q=−2q = \mathit{-} 2이므로 p−q=2−(−2)=4p - q = 2 - \left( - 2 \right) = 4

태그

#벡터의 연산#일차독립

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