벡터 영역의 넓이

주어진 연립 부등식의 해를 좌표평면에 도시하면 다음과 같다.

주어진 영역을 관찰하면 결국 $x + y = 2$인 경우와 $3 x + y = 2$인 경우 사이의 범위임을 알 수 있다. $x + y = 2$일 때 $\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 1$이므로 $\displaystyle \mathrm{\vec{OP}} \mathit{=} \frac{x}{2} \cdot \left( 2 \mathrm{\vec{OA}} \right) \mathit{+} \frac{y}{2} \cdot \left( 2 \mathrm{\vec{OB}} \right) \mathit{=} \frac{x}{2} \cdot \left( \mathrm{\vec{OA'}} \right) \mathit{+} \frac{y}{2} \cdot \left( \mathrm{\vec{OB'}} \right)$ $3 x + y = 2$일 때, $\displaystyle \frac{3}{2} x + \frac{y}{2} = 1$이므로 $\displaystyle \mathrm{\vec{OP}} \mathit{=} \frac{3}{2} x \cdot \left( \frac{2}{3} \mathrm{\vec{OA}} \right) \mathit{+} \frac{y}{2} \cdot \left( 2 \mathrm{\vec{OB}} \right) = \frac{\mathit{3}}{2} x \cdot \left( \mathrm{\vec{OA''}} \right) \mathit{+} \frac{y}{2} \cdot \left( \mathrm{\vec{OB'}} \right)$ 라 두고, $\mathrm{B}'$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}}'$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 두자.

$\displaystyle \mathrm{\overline{OB}} = 2 , \overline{OB}' = 4 , \overline{OA}'' = 2 , \overline{A' A''} = 4 , \overline{B}' H = 2$이고, 구하고자 하는 넓이는 빨간색(굵은선)으로 둘러쌓인 부분의 넓이이다. $\displaystyle \mathrm{\therefore} \triangle BA'' A' = S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$ $\rightarrow$ $S ^{2} = 16$