기하평면벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

벡터 합 영역 넓이

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 22이고 중심각의 크기가 π3\displaystyle \frac{\pi}{3}인 부채꼴 OAB\mathrm{OAB}에서 선분 OA\mathrm{OA}의 중점을 M\mathrm{M}이라 하자. 점 P\mathrm{P}는 두 선분 OM\mathrm{OM}과 BM\mathrm{BM} 위를 움직이고, 점 Q\mathrm{Q}는 호 AB\mathrm{AB} 위를 움직인다. OR⃗=OP⃗+OQ⃗\mathrm{\vec{OR}} = \vec{OP} + \vec{OQ}를 만족시키는 점 R\mathrm{R}가 나타내는 영역 전체의 넓이는? [4점]

①3\displaystyle \sqrt{3}②22③23\displaystyle 2 \sqrt{3}④44⑤33\displaystyle 3 \sqrt{3}

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③

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해설

점 P\mathrm{P}가 선분 OM\mathrm{OM} 위를 움직일 때, 점 R\mathrm{R}이 존재하는 영역은 다음 그림의 어두운 부분과 같다.

점 P\mathrm{P}가 선분 BM\mathrm{BM} 위를 움직일 때, 점 R\mathrm{R}이 존재하는 영역은 다음 그림의 어두운 부분과 같다.

따라서 점 R\mathrm{R}이 나타내는 영역은 다음 그림과 같다.

⇨

위 영역의 넓이는 가로의 길이가 22이고 세로의 길이가 3\displaystyle \sqrt{3}인 직사각형의 넓이와 같다. 따라서 구하는 넓이는 23\displaystyle 2 \sqrt{3}이다.

태그

#벡터의 합#영역

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