기하평면벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

벡터 차가 그리는 영역

문제

좌표평면 위에 두 점 A(1,0){\mathrm{A}} ( 1 , 0 ), B(0,1){\mathrm{B}} ( 0 , 1 )이 있다. 중심각의 크기가 π2\displaystyle \frac{\pi}{2}인 부채꼴 OAB{\mathrm{OAB}}의 호 AB{\mathrm{AB}} 위를 움직이는 점 X{\mathrm{X}}와 함수 y=(x−2)2+1y = ( x - 2 ) ^{2} + 1 (2≤x≤32 \leq x \leq 3)의 그래프 위를 움직이는 점 Y{\mathrm{Y}}에 대하여 OP⃗=OY⃗−OX⃗\vec{{\mathrm{OP}}} = \vec{{\mathrm{OY}}} - \vec{{\mathrm{OX}}} 를 만족시키는 점 P{\mathrm{P}}가 나타내는 영역을 R{\mathrm{R}}라 하자. 점 O{\mathrm{O}}로부터 영역 R{\mathrm{R}}에 있는 점까지의 거리의 최댓값을 MM, 최솟값을 mm이라 할 때, M2+m2M ^{2} + m ^{2}의 값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점] ①16−25\displaystyle 16 - 2 \sqrt{5}②16−5\displaystyle 16 - \sqrt{5}③1616④16+5\displaystyle 16 + \sqrt{5}⑤16+25\displaystyle 16 + 2 \sqrt{5}

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①

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해설

OP⃗=OY⃗+XO⃗\mathrm{\vec{OP}} = \vec{OY} + \vec{XO}이고, 모든 XO⃗\mathrm{\vec{XO}}의 시점을 점 Y\mathrm{Y}로 평행이동하면 다음 그림과 같이 점 Y\mathrm{Y}를 중심으로 하는 반지름이 11인 사분원이다.

이때 점 Y\mathrm{Y}는 y=(x−2)2+1y = ( x - 2 ) ^{2} + 1 (2≤x≤3)( 2 \leq x \leq 3 )위를 움직이므로 영역 RR은 다음 그림의 색칠한 부분과 같다.

따라서 점 O\mathrm{O}로부터 거리의 최댓값은 P\mathrm{P}가 (3,1)( 3 , 1 )일 때 M=10\displaystyle M = \sqrt{10} 최솟값은 원점과 (2,1)( 2 , 1 )사이의 거리에서 반지름 11을 뺀 m=5−1\displaystyle m = \sqrt{5} - 1이다. M2+m2=16−25\displaystyle M ^{2} + m ^{2} = 16 - 2 \sqrt{5}

태그

#벡터#영역#최대최소

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