공통수학2원의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

반원의 접선과 할선

문제

그림과 같이 선분 AB\mathrm{AB} 를 지름으로 하고 AB‾=103\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 10 \sqrt{3} 인 반원이 있다. 반원 위의 점 T\mathrm{T} 에서 그은 접선과 선분 AB\mathrm{AB} 의 연장선이 만나는 점을 P\mathrm{P} 라 하자. ∠PAT=15∘\mathrm{\angle} PAT = 15 ^\circ일 때, PA‾×PB‾\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} \times \overline{PB} 의 값을 구하시오. [4점]

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25

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해설

[출제의도] 원의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

반원의 중심을 O\mathrm{O}라 하면 호 BT\mathrm{BT}의 원주각의 크기가 15∘15 ^\circ이므로 ∠TOP=30∘\mathrm{\angle} T O P = 30 ^\circ이다. OT‾⊥PT‾\displaystyle \mathrm{\overline{OT}} \perp \overline{PT}, OT‾=53\displaystyle \mathrm{\overline{OT}} = 5 \sqrt{3}이므로 삼각비에 의해 PT‾=5\displaystyle \mathrm{\overline{PT}} = 5 원에서의 비례관계에 의해 PA‾×PB‾=PT‾2=25\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} \times \overline{PB} = {\mathrm{\overline{PT}}} ^{2} = 25

태그

#원의 접선#원주각#할선 정리

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