반원 위 각 배가 현 길이

원의 중심을 $O$라 두면 중심각의 크기는 원주각의 크기의 $2$배이고, $\angle P _{0} P _{1} P _{2} = 1 ^{o} , \angle P _{1} P _{2} P _{3} = 2 ^{o} ,$ $\angle P _{2} P _{3} P _{4} = \left( 2 ^{2} \right) ^\circ ,$ $\cdots , \angle P _{k-1} P _{k} P _{k+1} = \left( 2 ^{k-1} \right) ^\circ$ $\angle P _{5} P _{6} P _{7} = \left( 2 ^{6-1} \right) = 32 ^\circ , \angle P _{6} P _{7} P _{8} = 64 ^\circ$이므로 호 $P _{6} P _{7}$의 중심각의 크기를 $x ^\circ$라 두면 각 호의 중심각의 크기의 합은 $2 ^\circ + 4 ^\circ + 8 ^\circ + 16 ^\circ + 32 ^\circ + 64 ^\circ + x ^\circ = 180 ^\circ$ $\therefore x ^\circ = 54 ^\circ$이므로 호 $P _{6} P _{7}$의 원주각의 크기는 $27 ^\circ$이다.

그러므로 사인 법칙에서 $\displaystyle \frac{P _{6} P _{7}}{\sin 27 ^\circ} = 2 \times 1$이므로 $P _{6} P _{7} = 2 \sin 27 ^\circ = 2 \cos 63 ^\circ$