대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

반원 속 각의 코사인

문제

그림은 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 반원 위에 한 점 P\mathrm{P}가 있다. ∠PAB=α\mathrm{\angle} PAB \mathit{=} \alpha, ∠PBA=β\mathrm{\angle} PBA = \beta, AP‾=4\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = 4, BP‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = 3일 때, cos⁡(2α+β)\cos ( 2 \alpha + \beta )의 값은? [4점]

①−45\displaystyle - \frac{4}{5}②−35\displaystyle - \frac{3}{5}③−15\displaystyle - \frac{1}{5}④35\displaystyle \frac{3}{5}⑤45\displaystyle \frac{4}{5}

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②

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해설

[출제의도] 원주각의 성질과 삼각함수의 값 구하기 ∠APB=π2\displaystyle \angle \mathrm{APB} \mathit{=} \frac{\pi}{2}이므로 α+β=π2\displaystyle \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} AB‾=42+32=5\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{4 ^{2} + 3 ^{2}} = 5 ∴cos⁡(2α+β)=cos⁡{(α+β)+α}\therefore \cos ( 2 \alpha + \beta ) = \cos \left\{ ( \alpha + \beta ) + \alpha \right\}=cos⁡(π2+α)\displaystyle = \cos \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) =−sin⁡α=−BP‾AB‾=−35\displaystyle = - \sin \alpha = {\mathrm{-} \frac{\overline{BP}}{\overline{AB}}} = - \frac{3}{5}

태그

#삼각함수의 성질#원주각

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