미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

반원 삼각형 넓이 극한

문제

그림과 같이 AB‾=4\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 4를 지름으로 하는 반원 CC가 있다. 호 ABAB 위의 점 PP에 대하여 직선 APAP와 점 BB를 지나고 선분 ABAB에 수직인 직선이 만나는 점을 QQ라 하자. 선분 BPBP를 지름으로 하고 삼각형 ABPABP의 외부에 그린 반원이 선분 BQBQ와 만나는 점 BB가 아닌 점을 RR라 하자. ∠PAB=θ\angle PAB = \theta일 때, 삼각형 PRQPRQ의 넓이를 S(θ)S ( \theta )라 하자. lim⁡θ→0+S(θ)θ5\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{S ( \theta )}{\theta ^{5}}의 값은? (단,0<θ<π2)\displaystyle \left( \text{단} , 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right) [4점]

①1②2③4④8⑤16

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④

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해설

[출제의도] 삼각함수의 극한을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 두 점 P\mathrm{P},, R\mathrm{R}는 각각 반원 위의 점이므로 ∠APB=∠PRB=π2\displaystyle \angle \mathrm{APB} = \angle PRB = \frac{\pi}{2}이다. 또한 ∠ABQ=π2\displaystyle \angle \mathrm{ABQ} = \frac{\pi}{2}이므로 ∠BAP=∠PBR=∠QPR=θ\angle \mathrm{BAP} = \angle PBR = \angle QPR = \theta이다. AB‾=4\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 4이므로 BQ‾=4tan⁡θ\displaystyle {\overline{\mathrm{BQ}}} = 4 \tan \theta, BP‾=4sin⁡θ\displaystyle {\overline{\mathrm{BP}}} = 4 \sin \theta이고, PR‾=4sin⁡2θ\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}} = 4 \sin ^{2} \theta, RQ‾=BQ‾−BR‾=4tan⁡θ−4sin⁡θcos⁡θ\displaystyle {\overline{\mathrm{RQ}}} = {\overline{\mathrm{BQ}}} - {\overline{\mathrm{BR}}} = 4 \tan \theta - 4 \sin \theta \cos \theta이다. 따라서 S(θ)S ( \theta )=12PR‾⋅RQ‾\displaystyle = \frac{1}{2} {\overline{\mathrm{PR}}} \cdot {\overline{\mathrm{RQ}}} =12×4sin⁡2θ×4(tan⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 \sin ^{2} \theta \times 4 \left( \tan \theta - \sin \theta \cos \theta \right) =8sin⁡2θ(tan⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)= 8 \sin ^{2} \theta \left( \tan \theta - \sin \theta \cos \theta \right) =8sin⁡3θ(1cos⁡θ−cos⁡θ)\displaystyle = 8 \sin ^{3} \theta \left( \frac{1}{\cos \theta} - \cos \theta \right) =8sin⁡3θ×1−cos⁡2θcos⁡θ\displaystyle = 8 \sin ^{3} \theta \times \frac{1 - \cos ^{2} \theta}{\cos \theta} =8sin⁡5θ×1cos⁡θ\displaystyle = 8 \sin ^{5} \theta \times \frac{1}{\cos \theta} 따라서 lim⁡θ→0+S(θ)θ5\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{S ( \theta )}{\theta ^{5}}}=lim⁡θ→0+8sin⁡5θcos⁡θθ5\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{\frac{8 \sin ^{5} \theta}{\cos \theta}}{\theta ^{5}}} =lim⁡θ→0+8sin⁡5θθ5×lim⁡θ→0+1cos⁡θ\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{8 \sin ^{5} \theta}{\theta ^{5}}} \times \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{1}{\cos \theta}} =8= 8

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#삼각함수의 극한#반원

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