미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

반원 삼각형 급수

문제

그림과 같이 길이가 44인 선분 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}을 지름으로 하는 반원 O1O _{1}을 그리고, 반원 O1O _{1} 위에 ∠C1A1B1=30∘\angle \mathrm{C} _{1} A _{1} B _{1} = 30 ^\circ가 되도록 점 C1\mathrm{C} _{1}을 정한다. 이때 삼각형 A1B1C1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1}의 넓이를 S1S _{1}이라 하자. 선분 A1C1\mathrm{A} _{1} C _{1}의 중점을 A2\mathrm{A} _{2}라 하고, 호 A1B2\mathrm{A} _{1} B _{2}와 호 C1B2\mathrm{C} _{1} B _{2}의 길이가 같도록 점 B2\mathrm{B} _{2}를 정한다. 선분 A2B2\mathrm{A} _{2} B _{2}를 지름으로 하는 반원 O2O _{2}를 그리고, 반원 O2O _{2} 위에 ∠C2A2B2=30∘\angle \mathrm{C} _{2} A _{2} B _{2} = 30 ^\circ가 되도록 점 C2\mathrm{C} _{2}를 정한다. 이때 삼각형 A2B2C2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2}의 넓이를 S2S _{2}라 하자. 선분 A2C2\mathrm{A} _{2} C _{2}의 중점을 A3\mathrm{A} _{3}이라 하고, 호 A2B3\mathrm{A} _{2} B _{3}과 호 C2B3\mathrm{C} _{2} B _{3}의 길이가 같도록 점 B3\mathrm{B} _{3}을 정한다. 선분 A3B3\mathrm{A} _{3} B _{3}을 지름으로 하는 반원 O3O _{3}을 그리고, 반원 O3O _{3} 위에 ∠C3A3B3=30∘\angle \mathrm{C} _{3} A _{3} B _{3} = 30 ^\circ가 되도록 점 C3\mathrm{C} _{3}을 정한다. 이때 삼각형 A3B3C3\mathrm{A} _{3} B _{3} C _{3}의 넓이를 S3S _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 삼각형 AnBnCn\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}의 값은? [3점]

①23\displaystyle 2 \sqrt{3}②32315\displaystyle \frac{32 \sqrt{3}}{15}③34315\displaystyle \frac{34 \sqrt{3}}{15}④1235\displaystyle \frac{12 \sqrt{3}}{5}⑤38315\displaystyle \frac{38 \sqrt{3}}{15}

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②

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해설

[출제의도] 도형의 닮음비를 이용하여 무한등비급수 문제를 해결한다. 점 C1\mathrm{C} _{1}이 반원 O1O _{1} 위에 있으므로 삼각형 A1B1C1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1}은 선분 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}이 빗변인 직각삼각형이다. 따라서 A1C1‾=4cos⁡30∘=23\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} C _{1}}} = 4 \cos 30 ^\circ = 2 \sqrt{3}, B1C1‾=4sin⁡30∘=2\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} C _{1}}} = 4 \sin 30 ^\circ = 2이다. ∴ S1=12×23×2=23\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times 2 = 2 \sqrt{3}

이때 반원 O1O _{1}의 지름의 중점을 M1\mathrm{M} _{1}이라 하면 선분 A2B2\mathrm{A} _{2} B _{2}는 선분 A1C1\mathrm{A} _{1} C _{1}의 수직이등분선이고 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지나므로 선분 A2B2\mathrm{A} _{2} B _{2}의 연장선은 반원 O1O _{1}의 지름의 중점 M1\mathrm{M} _{1}을 지난다. M1A2‾=2sin⁡30∘=1\displaystyle \overline{\mathrm{M} _{1} A _{2}} = 2 \sin 30 ^\circ = 1이므로 A2B2‾=2−1=1\displaystyle \mathrm{\overline{A _{2} B _{2}}} = 2 - 1 = 1 S2=12×32×12=38\displaystyle S _{2} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8} 마찬가지로, 삼각형 AnBnCn\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}은 AnBn‾\displaystyle \mathrm{\overline{A _{\mathit{\mathit{n}}} B _{\mathit{\mathit{n}}}}}이 빗변인 직각삼각형이고, 삼각형 An−1Bn−1Cn−1\mathrm{A} _{\mathit{n} - 1} B _{\mathit{n} - 1} C _{\mathit{n} - 1}의 빗변은 An−1Bn−1‾\displaystyle \mathrm{\overline{{A _{\mathit{n} - 1}} B _{\mathit{n} - 1}}}=14×AnBn‾\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{4} \times \overline{A _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}} 두 닮은 삼각형의 길이의 비는 4:14 : 1이므로 넓이의 비는 16:116 : 1이다. 따라서 {Sn}\left\{ S _{n} \right\}은 첫째항이 23\displaystyle 2 \sqrt{3}이고 공비가 116\displaystyle \frac{1}{16}인 등비수열이다. ∴ ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}=231−116\displaystyle = \frac{2 \sqrt{3}}{1 - \frac{1}{16}}=32315\displaystyle = \frac{32 \sqrt{3}}{15}

태그

#무한등비급수#도형의 닮음

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