반원 넓이 극한

[출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

부채꼴 $\mathrm{OPQ}$는 반지름의 길이가 $2$이고 중심각의 크기가 $2 \theta$이므로 부채꼴 $\mathrm{OPQ}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 ^{2} \times 2 \theta = 4 \theta$ 직각삼각형 $\mathrm{ABQ}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}} = 4 \cos 2 \theta$ 삼각형 $\mathrm{AOQ}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AO}}} =$$\displaystyle {\overline{\mathrm{OQ}}} = 2$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{RQ}}} = 2 - {\overline{\mathrm{OR}}}$ 선분 $\mathrm{AR}$는 각 $\mathrm{QAO}$의 이등분선이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AO}}} : {\overline{\mathrm{AQ}}} = {\overline{\mathrm{OR}}} : {\overline{\mathrm{RQ}}}$ $\displaystyle 2 : 4 \cos 2 \theta = {\overline{\mathrm{OR}}} : \left( 2 - {\overline{\mathrm{OR}}} \right)$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OR}}} = \frac{2}{2 \cos 2 \theta + 1}$ 삼각형 $\mathrm{OPR}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OP}}} \times {\overline{\mathrm{OR}}} \times \sin 2 \theta = \frac{2 \sin 2 \theta}{2 \cos 2 \theta + 1}$ 호 $\mathrm{PQ}$와 두 선분 $\mathrm{QR}$, $\mathrm{RP}$로 둘러싸인 부분은 부채꼴 $\mathrm{OPQ}$에서 삼각형 $\mathrm{OPR}$를 제외한 부분이므로 $\displaystyle S \left( \theta \right) = 4 \theta - \frac{2 \sin 2 \theta}{2 \cos 2 \theta + 1}$ $\therefore$ $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{S \left( \theta \right)}{\theta}}$$\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\left\{ 4 - \frac{2 \sin 2 \theta}{\theta \left( 2 \cos 2 \theta + 1 \right)} \right\}}$ $\displaystyle = 4 - 4 \times \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$