확률과 통계확률분포수능 기출기본 문제 (3점 중반)

반원 확률밀도함수

문제

연속확률변수 XX의 확률밀도함수 f(x)f ( x )의 그래프가 그림과 같이 중심이 원점이고 반지름의 길이가 rr인 반원의 호가 되도록 상수 rr의 값을 정할 때, 확률 P(X≥12π)\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( X \geq \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \right)}의 값은? (단, −r≤x≤r- r \leq x \leq r이다.) [3점] y=f(x)y = f ( x )

①23−34π\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4 \pi}②13−33π\displaystyle \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \pi}③23−32π\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2 \pi}④13−34π\displaystyle \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4 \pi}⑤1−3π\displaystyle 1 - \frac{\sqrt{3}}{\pi}

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④

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해설

12πr2=1\displaystyle \frac{1}{2} \pi r ^{2} = 1에서 r=2π\displaystyle r = \sqrt{\frac{2}{\pi}} 12π=122π=12r\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{\pi}} = \frac{1}{2} r xx좌표가 12r\displaystyle \frac{1}{2} r인 반원 위의 점을 A\mathrm{A}라 하면 동경 OA\mathrm{OA}가 xx축의 양의 방향과 이루는 각의 크기 θ\theta는 13π\displaystyle \frac{1}{3} \pi이다. ∴ P(X≥12π)=12r2θ−14r2sin⁡θ\displaystyle \left( X \geq \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \right) = \frac{1}{2} r ^{2} \theta - \frac{1}{4} r ^{2} \sin \theta=13−34π\displaystyle = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4 \pi}

태그

#연속확률변수#확률밀도함수#부채꼴

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