반원 회전체 부피

$x ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} = 1$에서 $\displaystyle y = 1 + \sqrt{1 - x ^{2}}$ (∵ $y \geq 1$) 이므로 구하는 회전체의 부피 $V$는 $V$$=$$\displaystyle \pi \int _{-1} ^{1} y ^{2} dx$ $\displaystyle = \pi \int _{-1} ^{1} ( 1 + \sqrt{1 - x ^{2}} ) ^{2} dx$ $\displaystyle = \pi \int _{-1} ^{1} ( 2 - x ^{2} + 2 \sqrt{1 - x ^{2}} ) dx$ $\displaystyle = \pi \int _{-1} ^{1} ( 2 - x ^{2} ) dx + 2 \pi \int _{-1} ^{1} ( \sqrt{1 - x ^{2}} ) dx$ $\displaystyle = 2 \pi \left[ 2 x - \frac{x ^{3}}{3} \right] _{0} ^{1} + 2 \pi \cdot \frac{\pi}{2}$ $\displaystyle = \pi ^{2} + \frac{10}{3} \pi$ $\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.$∵ $\displaystyle \int _{0} ^{1} ( \sqrt{1 - x ^{2}} ) dx$는 반지름의 길이가 $1$인 반원의 넓이와 같다.$\displaystyle \begin{matrix} \\ \end{matrix} )$