반원 도형 급수

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$인 정사각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$이 있다. 네 변 $\mathrm{A} _{1} B _{1}$, $\mathrm{B} _{1} C _{1}$, $\mathrm{C} _{1} D _{1}$, $\mathrm{D} _{1} A _{1}$을 각각 지름으로 하는 반원을 정사각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$의 외부에 그려 만들어진 $4$개의 호로 둘러싸인 모양의 도형을 $E _{1}$이라 하자. 네 변 $\mathrm{D} _{1} A _{1}$, $\mathrm{A} _{1} B _{1}$, $\mathrm{B} _{1} C _{1}$, $\mathrm{C} _{1} D _{1}$의 중점 $\mathrm{P} _{1}$, $\mathrm{Q} _{1}$, $\mathrm{R} _{1}$, $\mathrm{S} _{1}$을 꼭짓점으로 하는 정사각형에 도형 $E _{1}$을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형을 $F _{1}$이라 하자. 도형 $E _{1}$의 내부와 도형 $F _{1}$의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $G _{1}$이라 하자. 그림 $G _{1}$에 네 변 $\mathrm{P} _{1} Q _{1}$, $\mathrm{Q} _{1} R _{1}$, $\mathrm{R} _{1} S _{1}$, $\mathrm{S} _{1} P _{1}$의 중점 $\mathrm{A} _{2}$, $\mathrm{B} _{2}$, $\mathrm{C} _{2}$, $\mathrm{D} _{2}$를 꼭짓점으로 하는 정사각형을 그리고 도형 $E _{1}$을 얻는 것과 같은 방법으로 새로 만들어지는 모양의 도형을 $E _{2}$라 하자. 네 변 $\mathrm{D} _{2} A _{2}$, $\mathrm{A} _{2} B _{2}$, $\mathrm{B} _{2} C _{2}$, $\mathrm{C} _{2} D _{2}$의 중점 $\mathrm{P} _{2}$, $\mathrm{Q} _{2}$, $\mathrm{R} _{2}$, $\mathrm{S} _{2}$를 꼭짓점으로 하는 정사각형을 그리고 도형 $E _{1}$을 얻는 것과 같은 방법으로 새로 만들어지는 모양의 도형을 $F _{2}$라 하자. 그림 $G _{1}$에 도형 $E _{2}$의 내부와 도형 $F _{2}$의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $G _{2}$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $G _{n}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $T _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {T _{n}}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle \frac{4}{3} ( \pi + 2 )$②$\displaystyle \frac{3}{2} ( \pi + 2 )$③$\displaystyle \frac{5}{3} ( \pi + 2 )$④$\displaystyle \frac{4}{3} ( \pi + 4 )$⑤$\displaystyle \frac{5}{3} ( \pi + 4 )$