미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

반원 도형 등비급수

문제

그림과 같이 길이가 44인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 AB\mathrm{AB}의 중점을 O\mathrm{O}라 하고, 호 AB\mathrm{AB} 위에 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}를 ∠POA=∠BOQ=30∘\angle \mathrm{POA} = \angle \mathrm{BOQ} = 30 ^\circ가 되도록 잡는다. 부채꼴 POQ\mathrm{POQ}의 내부에서 점 P\mathrm{P}를 중심으로 하고 선분 PO\mathrm{PO}를 반지름으로 하는 원의 내부와 점 Q\mathrm{Q}를 중심으로 하고 선분 QO\mathrm{QO}를 반지름으로 하는 원의 내부의 공통부분을 제외한

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 지름의 양 끝점이 선분 AB\mathrm{AB} 위에 있고 선분 PO\mathrm{PO}와 선분 QO\mathrm{QO}에 각각 접하는 가장 큰 반원을 그린다. 새로 그려진 22개의 반원에 그림 R1R _{1}을 얻는 것과 같은 방법으로

모양의 도형을 각각 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

O\mathrm{O} B\mathrm{B} A\mathrm{A} Q\mathrm{Q} P\mathrm{P}O\mathrm{O} B\mathrm{B} A\mathrm{A} Q\mathrm{Q} P\mathrm{P}
R1R _{1}R2R _{2}
O\mathrm{O} B\mathrm{B} A\mathrm{A} Q\mathrm{Q} P\mathrm{P}⋯\cdots
R3R _{3}⋯\cdots

①1537\displaystyle \frac{15 \sqrt{3}}{7}②1637\displaystyle \frac{16 \sqrt{3}}{7}③1737\displaystyle \frac{17 \sqrt{3}}{7}④1837\displaystyle \frac{18 \sqrt{3}}{7}⑤1937\displaystyle \frac{19 \sqrt{3}}{7}

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④

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해설

[출제의도] 등비급수를 활용하여 수학 내적 문제 해결하기 다음은 그림 R1R _{1}이다.

호 AB\mathrm{AB} 위에 ∠ROA=90∘\angle \mathrm{ROA} = 90 ^\circ인 점을 R\mathrm{R}라 하자. 점 O\mathrm{O}를 중심으로 하는 부채꼴 POR\mathrm{POR}와 점 P\mathrm{P}를 중심으로 하는 부채꼴 RPO\mathrm{RPO}는 합동이다. 부채꼴 POR\mathrm{POR}에서 정삼각형 RPO\mathrm{RPO}를 제외한 도형과 부채꼴 RPO\mathrm{RPO}에서 정삼각형 RPO\mathrm{RPO}를 제외한 도형의 넓이가 같으므로 그림 R1R _{1}에서 색칠된 모양의 도형의 넓이는 정삼각형 RPO\mathrm{RPO}의 넓이의 22배와 같다. ∠ROP=60∘\mathrm{\angle} ROP = 60 ^\circ이므로 S1=2×(12×2×3)=23\displaystyle S _{1} = 2 \times \left( \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{3} \right) = 2 \sqrt{3} 다음은 그림 Rn+1R _{n + 1}의 일부이다. (n≥1n \geq 1)

On\mathrm{O} _{\mathrm{\mathit{n}}} On+1\mathrm{O} _{\mathit{n} + 1} Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}} Mn\mathrm{M} _{\mathit{n}} 30∘30 ^\circ rn+1\mathit{r} _{n + 1} rn\mathit{r} _{n}

그림 RnR _{n}에서 새로 그려진 지름의 한 끝점을 점 A\mathrm{A}로 하는 반원의 중심을 On\mathrm{O} _{\mathit{n}}, 반지름의 길이를 rnr _{n}, ∠PnOnA=30∘\mathrm{\angle} P _{\mathit{n}} O _{\mathit{n}} A = 30 ^\circ인 점을 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}이라 하자. (단, O=O1\mathrm{O} = \mathrm{O} _{1}, P=P1\mathrm{P} = P _{1}) 그림 Rn+1R _{n + 1}에서 새로 그려진 지름의 양 끝점은 선분 AOn\mathrm{A} \mathrm{O} _{\mathit{n}} 위에 있고 선분 PnOn\mathrm{P} _{\mathit{n}} O _{\mathit{n}}에 접하도록 그린 가장 큰 반원의 중심을 On+1\mathrm{O} _{\mathit{n} + 1}, 반지름의 길이를 rn+1r _{n + 1}, 점 On+1\mathrm{O} _{\mathit{n} + 1}에서 선분 PnOn\mathrm{P} _{\mathit{n}} O _{\mathit{n}}에 내린 수선의 발을 Mn\mathrm{M} _{\mathit{n}}이라 하면 On+1Mn‾On+1On‾=rn+1rn−rn+1=12\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{O _{\mathit{n} + 1} M \mathit{\mathrm{_{n}}}}}}{\mathrm{\overline{O _{\mathit{n} + 1} O _{\mathit{n}}}}} = \frac{r _{n + 1}}{r _{n} - r _{n + 1}} = \frac{1}{2}, rn+1=13rn\displaystyle r _{n + 1} = \frac{1}{3} r _{n} 그림 RnR _{n}에서 새로 그려진 모양의 도형 한 개의 넓이를 ana _{n}이라 하면 an+1=19an\displaystyle a _{n + 1} = \frac{1}{9} a _{n}이다. 그림 Rn+1R _{n + 1}에서 새로 그려진 모양의 도형의 개수는 그림 RnR _{n}에서 새로 그려진 모양의 도형의 개수의 22배이다. 그러므로 SnS _{n}은 첫째항이 23\displaystyle 2 \sqrt{3}이고 공비가 29\displaystyle \frac{2}{9}인 등비수열의 첫째항부터 제nn항까지의 합이다. 따라서 lim⁡n→∞Sn=231−29=2379=1837\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \frac{2 \sqrt{3}}{1 - \frac{2}{9}} = \frac{2 \sqrt{3}}{\frac{7}{9}} = \frac{18 \sqrt{3}}{7}

태그

#등비급수#도형의 넓이

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