반원 도형 등비급수

길이가 $4$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원 $O$가 있다. 그림과 같이 선분 $\mathrm{AB}$를 한 변으로 하고 반원 $O$에 외접하는 직사각형 $\mathrm{ABCD}$를 그린다. 선분 $\mathrm{AB}$를 $3 : 1$로 내분하는 점을 $\mathrm{N}$이라 하고, 점 $\mathrm{N}$을 지나고 선분 $\mathrm{AB}$와 수직인 직선이 반원 $O$와 만나는 점을 $\mathrm{P}$라 하자. 반원 $O$의 내부와 삼각형 $\mathrm{ABP}$의 외부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{1}$이라 하자. 그림 $R _{1}$에서 점 $\mathrm{D}$를 중심으로 하고 지름의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{2} {\overline{\mathrm{AB}}}$인 반원 $O _{1}$, 점 $\mathrm{C}$를 중심으로 하고 지름의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{2} {\overline{\mathrm{AB}}}$인 반원 $O _{2}$를 지름이 직선 $\mathrm{DC}$ 위에 있도록 그린다. 두 반원 $O _{1}$, $O _{2}$에 각각 그림 $R _{1}$을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 $2$개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R _{2}$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R _{n}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle 3 \left( \pi - \sqrt{3} \right)$②$\displaystyle 3 \left( \pi - \sqrt{2} \right)$③$3 \left( \pi - 1 \right)$④$\displaystyle 4 \left( \pi - \sqrt{3} \right)$⑤$\displaystyle 4 \left( \pi - \sqrt{2} \right)$