공통수학2원의 방정식AI킬러 문제 (22·30번 수준)

반지름이 자연수가 되는 원 찾기

문제

자연수 nn 에 대하여 xx, yy 에 대한 방정식 x2+y2−2nx−2ny+3n2−10n=0x ^{2} + y ^{2} - 2 nx - 2 ny + 3 n ^{2} - 10 n = 0 이 나타내는 도형이 반지름의 길이가 자연수인 원이 되도록 하는 모든 nn 에 대하여, 그 원의 반지름의 길이의 합을 구하시오. [4점]

정답 보기
19

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

먼저 반지름의 제곱을 nn 에 대한 식으로 정리한다. 주어진 방정식을 변형하면 (x−n)2+(y−n)2=2n2−3n2+10n\left( x - n \right) ^{2} + \left( y - n \right) ^{2} = 2 n ^{2} - 3 n ^{2} + 10 n 반지름의 길이를 rr 라 하면 r2=−n2+10n=n(10−n)r ^{2} = - n ^{2} + 10 n = n ( 10 - n ) 원이 되려면 n(10−n)>0n ( 10 - n ) > 0 이어야 하므로 자연수 nn 은 11 부터 99 까지이다. 이때 rr 가 자연수이려면 n(10−n)n ( 10 - n ) 이 완전제곱수이어야 한다. n=1n = 1 일 때 r2=9r ^{2} = 9 이므로 r=3r = 3 n=2n = 2 일 때 r2=16r ^{2} = 16 이므로 r=4r = 4 n=5n = 5 일 때 r2=25r ^{2} = 25 이므로 r=5r = 5 n=8n = 8 일 때 r2=16r ^{2} = 16 이므로 r=4r = 4 n=9n = 9 일 때 r2=9r ^{2} = 9 이므로 r=3r = 3 나머지 n=3,4,6,7n = 3 , 4 , 6 , 7 일 때 r2r ^{2} 은 각각 2121, 2424, 2424, 2121 로 완전제곱수가 아니다. 따라서 구하는 합은 3+4+5+4+3=193 + 4 + 5 + 4 + 3 = 19

태그

#원이 될 조건#반지름#완전제곱수

비슷한 문제 더 보기

공통수학2 문제 모음공통수학2 원의 방정식 문제 모음내신 문제 모음고난도 킬러 문제 모음
← 전체 문제 목록으로