기하공간도형과 공간좌표수능 기출기본 문제 (3점 중반)

반구 위 점과 삼수선

문제

그림과 같이 중심이 OO이고 반지름의 길이가 4인 반구의 밑면의 둘레 위에 두 점 A,BA , B가 있고, 반구 위에 점 CC가 있다.

점 CC에서 밑면에 내린 수선의 발 HH는 선분 OBOB위에 있고, ∠AOB=∠BOC=π6\displaystyle \angle AOB = \angle BOC = \frac{\pi}{6}이다. 각 AOCAOC의 크기를 θ\theta라 할 때, cos⁡θ\cos \theta의 값은? [3점]

①14\displaystyle \frac{1}{4}②13\displaystyle \frac{1}{3}③12\displaystyle \frac{1}{2}④23\displaystyle \frac{2}{3}⑤34\displaystyle \frac{3}{4}

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⑤

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해설

[출제의도] 수학 내적 문제 해결능력-공간도형과 공간벡터 OH‾=OC‾cos⁡π6=23\displaystyle {\overline{OH}} = {\overline{OC}} \cos \frac{\pi}{6} = 2 \sqrt{3} 이므로 점 HH에서 선분 OAOA에 내린 수선의 발을 DD라 하면 OD‾=OH‾cos⁡π6=3\displaystyle {\overline{OD}} = {\overline{OH}} \cos \frac{\pi}{6} = 3 이때 삼수선의 정리에 의해 CD‾⊥OA‾\displaystyle {\overline{CD}} \perp {\overline{OA}}이므로 삼각형 OCDOCD는 직각삼각형이다. 따라서 cos⁡θ=OD‾OC‾=34\displaystyle \cos \theta = \frac{{\overline{OD}}}{{\overline{OC}}} = \frac{3}{4}

태그

#삼수선의 정리

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