미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

반구 그릇 수면 상승속도

문제

아래 그림과 같이 반지름의 길이가 1m\mathrm{1} m인 구를 반으로 자른 모양의 그릇에 0.2πm3/초0.2 \pi \mathrm{m} ^{3} / \text{초}의 속도로 물을 채우려고 한다. 수면의 높이가 34m\displaystyle \frac{3}{4} \mathrm{m}가 되는 순간에 수면의 상승속도를 vv라고 할 때, 75v75 v의 값을 구하시오. [4점]

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해설

채워지는 물의 양 VV는 V=π∫−1h(1−x2)dx=π[x−13x3]−1h\displaystyle V = \pi \int _{-1} ^{h} {( 1 - x ^{2} ) dx} = \pi \left[ x - \frac{1}{3} x ^{3} \right] _{-1} ^{h}=π(h−13h3+23)\displaystyle = \pi \left( h - \frac{1}{3} h ^{3} + \frac{2}{3} \right) 양변을 tt에 대하여 미분하면 dVdt=π(1−h2)dhdt\displaystyle \frac{dV}{dt} = \pi ( 1 - h ^{2} ) \frac{dh}{dt} 여기에 부피의 증가량 0.2π0.2 \pi와 높이가 34\displaystyle \frac{3}{4}이므로 h=−14\displaystyle h = - \frac{1}{4}를 대입하면 0.2π=π(1−116)dhdt\displaystyle 0.2 \pi = \pi \left( 1 - \frac{1}{16} \right) \frac{dh}{dt} ∴dhdt=1675\displaystyle \frac{dh}{dt} = \frac{16}{75}이므로 75v=75×1675=16\displaystyle 75 v = 75 \times \frac{16}{75} = 16

태그

#속도와 가속도#관련 변화율#부피

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