기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

반구 단면 정사영

문제

반지름의 길이가 $6$ 인 반구가 평면 $\alpha$ 위에 놓여 있다. 반구와 평면 $\alpha$ 가 만나서 생기는 원의 중심을 $\mathrm{O}$ 라 하자. 그림과 같이 중심 $\mathrm{O}$ 로부터 거리가 $\displaystyle 2 \sqrt{3}$ 이고 평면 $\alpha$ 와 $45 ^\circ$ 의 각을 이루는 평면으로 반구를 자를 때, 반구에 나타나는 단면의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이는 $\displaystyle \sqrt{2} ( a + b \pi )$ 이다. $a + b$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ , $b$ 는 자연수이다.) [4점] $\displaystyle 2 \sqrt{3}$ $\alpha$

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해설

반구에 나타나는 단면인 원의 반지름은 $\displaystyle \sqrt{36 - ( 2 \sqrt{3} ) ^{2}} = \sqrt{36 - 12}$ $\displaystyle = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$ 오른쪽 그림에서 어두운 부분의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot ( 2 \sqrt{6} ) ^{2} \times \frac{3}{2} \pi + \frac{1}{2} ( 2 \sqrt{6} ) ^{2}$ $\displaystyle = 12 \left( \frac{3}{2} \pi + 1 \right) = 12 + 18 \pi$ 단면의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이는 $\displaystyle ( 12 + 18 \pi ) \cos 45 = \sqrt{2} ( 6 + 9 \pi )$ $\therefore a + b = 15$

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