방정식 실근 개수

[출제의도] 분수방정식을 활용하여 추론하기 $\displaystyle \frac{f \left( x \right) - 2}{g \left( x \right) - 2} - \frac{g \left( x \right)}{f \left( x \right)} = 0$ $\displaystyle \frac{\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2} - \left\{ g \left( x \right) \right\} ^{2} - 2 \left\{ f \left( x \right) - g \left( x \right) \right\}}{f \left( x \right) \left\{ g \left( x \right) - 2 \right\}} = 0$ $\displaystyle \frac{\left\{ f \left( x \right) - g \left( x \right) \right\} \left\{ f \left( x \right) + g \left( x \right) - 2 \right\}}{f \left( x \right) \left\{ g \left( x \right) - 2 \right\}} = 0$ $\left\{ f \left( x \right) - g \left( x \right) \right\} \left\{ f \left( x \right) + g \left( x \right) - 2 \right\} = 0$이고 $f \left( x \right) \left\{ g \left( x \right) - 2 \right\} \ne 0$이다. ⅰ) $f \left( x \right) = g \left( x \right)$일 때 $x = - 1$ 또는 $x = 2$ $f \left( - 1 \right) \ne 0$이고 $g \left( - 1 \right) - 2 > 0$ $f \left( 2 \right) \ne 0$이고 $g \left( 2 \right) - 2 < 0$ $\therefore$$x = - 1$과 $x = 2$는 무연근이 아니므로 서로 다른 실근의 개수는 $2$ ⅱ) $f \left( x \right) = - g \left( x \right) + 2$일 때

$y = - g \left( x \right) + 2$의 그래프는 $y = g \left( x \right)$의 그래프를 $x$축에 대하여 대칭이동시킨 후, $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동시켜 얻은 그래프이다. $y = f \left( x \right)$의 그래프와 $y = - g \left( x \right) + 2$의 그래프의 세 교점의 $x$좌표는 $- \alpha$, $0$, $\alpha$$\left( \alpha > 0 \right)$이다. $f \left( - \alpha \right) < 0$이고 $g \left( - \alpha \right) - 2 > 0$ $f \left( \alpha \right) > 0$이고 $g \left( \alpha \right) - 2 < 0$ $f \left( 0 \right) = 0$이므로 $x = - \alpha$, $x = \alpha$는 무연근이 아니고, $x = 0$은 무연근이다. $\therefore$서로 다른 실근의 개수는 $2$ ⅰ), ⅱ)에서 서로 다른 실근의 개수는 $4$