방정식 해의 개수 빈칸

자연수 $n$에 대하여 $2 a + 2 b + c + d = 2 n$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a , b , c , d$의 모든 순서쌍 $( a , b , c , d )$의 개수를 $a _{n}$이라 하자. 다음은 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{8} a _{n}$의 값을 구하는 과정이다. 음이 아닌 정수 $a , b , c , d$가 $2 a + 2 b + c + d = 2 n$을 만족시키려면 음이 아닌 정수 $k$에 대하여 $c + d = 2 k$이어야 한다. $c + d = 2 k$인 경우는 ⑴ 음이 아닌 정수 $k _{1} , k _{2}$에 대하여 $c = 2 k _{1} , d = 2 k _{2}$인 경우이거나 ⑵ 음이 아닌 정수 $k _{3} , k _{4}$에 대하여 $c = 2 k _{3} + 1 , d = 2 k _{4} + 1$인 경우이다.

⑴ $c = 2 k _{1} , d = 2 k _{2}$인 경우 : $2 a + 2 b + c + d = 2 n$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a , b , c , d$의 모든 순서쌍 $( a , b , c , d )$개수는 $\square {( \text{가} )}$이다.

⑵ $c = 2 k _{3} + 1 , d = 2 k _{4} + 1$인 경우 : $2 a + 2 b + c + d = 2 n$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a , b , c , d$의 모든 순서쌍 $( a , b , c , d )$개수는 $\square {( \text{나} )}$이다.

⑴, ⑵에 의하여 $2 a + 2 b + c + d = 2 n$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a , b , c , d$의 모든 순서쌍 $( a , b , c , d )$의 개수 $a _{n}$은 $a _{n} =$$\square {( \text{가} )}$$+$$\square {( \text{나} )}$ 이다. 자연수 $m$에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{m} \square {( \text{나} )} = _{m+3} {\mathrm{C} _{4}}$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{8} a _{n} = \square {( \text{다} )}$ 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f ( n ) , g ( n )$이라 하고, (다)에 알맞은 수를 $r$이라 할 때, $f ( 6 ) + g ( 5 ) + r$의 값은? [4점]

①$893$②$918$③$943$④$968$⑤$993$