대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

방정식 근 개수 수열의 합

문제

xx에 대한 방정식 cos⁡x=1(2n−1)πx\displaystyle \cos x = \frac{1}{( 2 n - 1 ) \pi} x (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots)의 양의 실근의 개수를 ana _{n}이라 할 때, ∑n=124500(an+1)(an+3)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{24} \frac{500}{\left( a _{n} + 1 \right) \left( a _{n} + 3 \right)}의 값을 구하시오. [4점]

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120120

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해설

그림에서 an=2n−1(n≥1)a _{n} = 2 n - 1 ( n \geq 1 ) ∑n=124500(an+1)(an+3)=∑n=1245002n(2n+2)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{24} \frac{500}{\left( a _{n} + 1 \right) \left( a _{n} + 3 \right)} = \sum\limits _{n = 1} ^{24} \frac{500}{2 n ( 2 n + 2 )} =∑n=124125n(n+1)\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{24} \frac{125}{n ( n + 1 )}=125∑n=124(1n−1n+1)=120\displaystyle = 125 \sum\limits _{n = 1} ^{24} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) = 120

태그

#부분분수#삼각함수 그래프

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