방향 바꾼 뒤 움직인 거리

[출제의도] 속도와 거리의 성질을 이용하여 거리 구하는 문제를 해결한다. 점 $\mathrm{P}$가 운동 방향을 바꿀 때 속도는 $0$이므로 $v \left( t \right) = 3 t ^{2} - 12 t + 9$$= 3 \left( t - 1 \right) \left( t - 3 \right)$$= 0$, $t = 1$ 또는 $t = 3$ $0 \leq t < 1$에서 $v ( t ) > 0$, $1 < t < 3$에서 $v ( t ) < 0$, $t > 3$에서 $v ( t ) > 0$ 이므로 점 $\mathrm{P}$는 $t = 1$일 때 처음으로 운동 방향을 바꾸고 $t = 3$일 때 다시 운동 방향을 바꾼다. 그러므로 점 $\mathrm{P}$가 $\mathrm{A}$에서 방향을 바꾼 순간부터 다시 $\mathrm{A}$로 돌아올 때까지 움직인 거리는 점 $\mathrm{P}$가 $t = 1$부터 $t = 3$까지 이동한 거리의 $2$배이다. 따라서 구하는 값은 $\displaystyle 2 \int _{1} ^{3} \left| v ( t ) \right| dt$$\displaystyle = 2 \int _{1} ^{3} {} \left( - 3 t ^{2} + 12 t - 9 \right) dt$ $\displaystyle = 2 \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - t ^{3} + 6 t ^{2} - 9 t \end{array} \right] _{1} ^{3}$$= 8$ [다른 풀이] 점 $\mathrm{P}$가 다시 $\mathrm{A}$로 돌아올 때의 시각을 $t = a$(단, $a > 1$)라 하면 $\displaystyle \int _{1} ^{a} v ( t ) dt$$= 0$이므로 $\displaystyle \int _{1} ^{a} v ( t ) dt$$\displaystyle = \int _{1} ^{a} \left( 3 t ^{2} - 12 t + 9 \right) dt$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t ^{3} - 6 t ^{2} + 9 t \end{array} \right] _{1} ^{a}$$= a ^{3} - 6 a ^{2} + 9 a - 4$ $= \left( a - 1 \right) ^{2} \left( a - 4 \right)$$= 0$ 그러므로 $t = 4$일 때 점 $\mathrm{P}$가 다시 $\mathrm{A}$로 돌아온다. 따라서 $\displaystyle \int _{1} ^{4} \left| v ( t ) \right| dt$$\displaystyle = \mathit{-} \int _{1} ^{3} v ( t ) dt + \int _{3} ^{4} v ( t ) dt$ $\displaystyle = \mathit{-} \int _{1} ^{3} \left( 3 t ^{2} - 12 t + 9 \right) dt + \int _{3} ^{4} \left( 3 t ^{2} - 12 t + 9 \right) dt$ $\displaystyle = \mathit{-} \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t ^{3} - 6 t ^{2} + 9 t \end{array} \right] _{1} ^{3} + \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t ^{3} - 6 t ^{2} + 9 t \end{array} \right] _{3} ^{4}$ $= 8$