대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

반감기 계산

문제

방사성 원소는 온도나 압력의 변화에 관계없이 일정한 속도로 붕괴하여 안정된 원소로 변한다. 이 때, 이 원소가 처음 양의 반이 되는데 걸리는 시간을 반감기라고 한다. 대표적인 방사성 원소들의 반감기는 다음과 같다.

방사성원소	우라늄 ${}_{} ^{238} {U}$	탄소 ${}_{} ^{14} {C}$	라듐 ${}_{} ^{226} {Ra}$
반 감 기	45억년	5700년	1620년

현재 $200 mg$ 인 탄소 ${}_{} ^{14} {C}$ 가 자연 붕괴되어 $40 mg$ 으로 줄어드는 데 몇 년이 걸리는가? (단, $\log 2 = 0.3$ ) [4점] ① $12500 \text{년}$ ② $12900 \text{년}$ ③ $13300 \text{년}$ ④ $13700 \text{년}$ ⑤ $14100 \text{년}$

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③

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해설

${}_{} ^{14} {C}$ 의 반감기가 5700년 이므로 $\displaystyle 200 \times {\left( \frac{1}{2} \right)} ^{\frac{t}{5700}} = 40$ $\displaystyle \frac{t}{5700} \log \frac{1}{2} = \log \frac{1}{5}$ $\displaystyle \frac{t}{5700} = \frac{\log \frac{1}{5}}{\log \frac{1}{2}} = \frac{1 - 0.3}{0.3}$ $\displaystyle t = 5700 \times {\frac{7}{3}} = 13300$

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