반복 원의 접선 기울기

[출제의도] 수열의 극한을 이용하여 수학내적 문제해결하기 $C _{1}$은 중심이 $\mathrm{O} _{1} \left( 2 - 1 , 0 \right)$, 반지름의 길이가 $1$인 원 $C _{2}$는 중심이 $\displaystyle \mathrm{O} _{2} \left( 2 - \frac{1}{2} , 0 \right)$, 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 원 $C _{3}$은 중심이 $\displaystyle \mathrm{O} _{3} \left( 2 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} , 0 \right)$, 반지름의 길이가 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{2}$인 원 $C _{n}$은 중심이 $\displaystyle \mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n}}} \left( 2 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} , 0 \right)$, 반지름의 길이가 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}$인 원 $\mathrm{B} ( - 1 , 0 )$을 지나고, 기울기가 $a _{n}$인 직선의 방정식을 $y = a _{n} ( x + 1 )$이라 하자. 점 $\mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{n}}}$부터 직선 $a _{n} x - y + a _{n} = 0$까지의 거리는 원 $C _{n}$의 반지름의 길이 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}$과 같다. $\displaystyle \frac{\left| a _{n} \left( 3 - \frac{1}{2 ^{n - 1}} \right) \right|}{\sqrt{a _{n} ^{2} + 1}} = \frac{1}{2 ^{n - 1}}$ $\displaystyle \sqrt{a _{n} ^{2} + 1} = 2 ^{n - 1} a _{n} \left( 3 - \frac{1}{2 ^{n - 1}} \right)$ $\displaystyle \begin{aligned} a _{n} ^{2} + 1 & = 4 ^{n - 1} a _{n} ^{2} \left( 3 - \frac{1}{2 ^{n - 1}} \right) ^{2} \\ \\ & = a _{n} ^{2} \left( 9 \cdot 4 ^{n - 1} - 3 \cdot 2 ^{n} + 1 \right) \end{aligned}$ $\displaystyle a _{n} ^{2} = \frac{1}{9 \cdot 4 ^{n - 1} - 3 \cdot 2 ^{n}}$ $\displaystyle a _{n} = \frac{1}{\sqrt{9 \cdot 4 ^{n - 1} - 3 \cdot 2 ^{n}}}$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {2 ^{n}} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 ^{n}}{\sqrt{9 \cdot 4 ^{n - 1} - 3 \cdot 2 ^{n}}}} = \frac{2}{3}$