반복 원호 길이 급수

그림과 같이 $n$번째 얻어진 도형에 있는 두 원의 반지름의 길이를 $r _{n}$이라하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}} = \overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} P _{\mathit{n}}} = \overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} P _{\mathit{n}}} = r _{n}$ 이므로 $\angle \mathrm{P} _{\mathit{n}} A _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} = \angle \mathrm{P} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} A _{\mathit{n}}$$\displaystyle = \frac{\pi}{3}$ 두 호 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} A _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}$, $\mathrm{P} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}$의 길이의 합 $\displaystyle l _{n} = 2 \times r _{n} \times \frac{2}{3} \pi = \frac{4}{3} \pi r _{n}$ 또 선분 $\mathrm{A} _{\mathit{n} - 1}$$\mathrm{B} _{\mathit{n} - 1}$의 삼등분점이 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}}} = \frac{1}{3} \overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} - 1} \mathrm{B} _{\mathit{n} - 1}}$ $\displaystyle \therefore r _{n} = \frac{1}{3} r _{n-1}$ 따라서, 수열 $l _{n}$의 공비는 $\displaystyle \frac{1}{3}$, $\displaystyle r _{1} = \frac{8}{3}$이므로 초항 $\displaystyle l _{1} = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{8}{3}$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} l _{n} = \frac{\frac{32}{9} \pi}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{16}{3} \pi$